作业帮一个不定积分的计算!这是我在纸上算的!请问这样这对的吗?因为我在书上看到的答案不是这样的就是先把e^2x换元！再接着部分
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/06 02:34:14
一个不定积分的计算!
这是我在纸上算的!请问这样这对的吗?因为我在书上看到的答案不是这样的
就是先把e^2x换元！再接着部分积分！
这是我在纸上算的!请问这样这对的吗?因为我在书上看到的答案不是这样的
就是先把e^2x换元！再接着部分积分！
答：
第五个箭头那一步出错了.√u/(1+u) du=√u/[2√u/(1+u)] d(√u),这里不对.应该是：
√u/(1+u)du=2u/(1+u)d(√u).
按您这样换元,原积分是不是-e^2xarctane^x?
令e^x=u,则e^2x=u^2,x=lnu,dx=1/u
∫-e^2xarctane^x dx
=∫ -u^2arctanu/u du
=-∫ uarctanu du
=-1/2[u^2arctanu-∫u^2 d(arctanu)]
=-1/2[u^2arctanu-∫u^2/(1+u^2) du]
=-1/2[u^2arctanu-∫1-1/(1+u^2) du]
=-1/2[u^2arctanu-u+arctanu+C]
=1/2(u-(1+u^2)arctanu) + C
=1/2(e^x-(1+e^2x)arctane^x) + C
求导以后检验正确.
第五个箭头那一步出错了.√u/(1+u) du=√u/[2√u/(1+u)] d(√u),这里不对.应该是：
√u/(1+u)du=2u/(1+u)d(√u).
按您这样换元,原积分是不是-e^2xarctane^x?
令e^x=u,则e^2x=u^2,x=lnu,dx=1/u
∫-e^2xarctane^x dx
=∫ -u^2arctanu/u du
=-∫ uarctanu du
=-1/2[u^2arctanu-∫u^2 d(arctanu)]
=-1/2[u^2arctanu-∫u^2/(1+u^2) du]
=-1/2[u^2arctanu-∫1-1/(1+u^2) du]
=-1/2[u^2arctanu-u+arctanu+C]
=1/2(u-(1+u^2)arctanu) + C
=1/2(e^x-(1+e^2x)arctane^x) + C
求导以后检验正确.
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