作业帮y=2根号(1-x)+根号(2x+1)的值域,不许用导数.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/07 15:46:17
y=2根号(1-x)+根号(2x+1)的值域,不许用导数.
三角换元：
y=2√(1-x)+√(2x+1)
=√2 *√(2-2x)+√(2x+1)
∵[√(2-2x)]²+[√(2x+1)]²=3
∴设√（2-2x)=√3sinα,α∈[0,π/2]
则√(2x+1)=√3cosα
∴y=√2*√3sinα+√3cosα
=3(√6/3*sinα+√3/3*cosα)
=3sin(α+φ)
其中sinφ=√3/3,cosφ=√6/3
φ为锐角
∵0≤α≤π/2
∴φ≤α+φ≤π/2+φ
∴ √3/3≤sin(α+φ)≤1
∴ √3≤y≤3
∴函数值域为[√3,3]
方法2：用柯西不等式
（a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²
ac+bd≤√[(a²+b²)(c²+d²)]
用的不熟,我只能用它求最大值
y=2√(1-x)+√(2x+1)=2√(1-x)+√2*√(x+1/2)
其中：a=2,b=√2,c=√(1-x),d=√(x+1/2)
那么 2√(1-x)+√2*√(x+1/2) ≤√(2²+2)×√[(1-x)+(x+1/2)]=√9=3
y=2√(1-x)+√(2x+1)
=√2 *√(2-2x)+√(2x+1)
∵[√(2-2x)]²+[√(2x+1)]²=3
∴设√（2-2x)=√3sinα,α∈[0,π/2]
则√(2x+1)=√3cosα
∴y=√2*√3sinα+√3cosα
=3(√6/3*sinα+√3/3*cosα)
=3sin(α+φ)
其中sinφ=√3/3,cosφ=√6/3
φ为锐角
∵0≤α≤π/2
∴φ≤α+φ≤π/2+φ
∴ √3/3≤sin(α+φ)≤1
∴ √3≤y≤3
∴函数值域为[√3,3]
方法2：用柯西不等式
（a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²
ac+bd≤√[(a²+b²)(c²+d²)]
用的不熟,我只能用它求最大值
y=2√(1-x)+√(2x+1)=2√(1-x)+√2*√(x+1/2)
其中：a=2,b=√2,c=√(1-x),d=√(x+1/2)
那么 2√(1-x)+√2*√(x+1/2) ≤√(2²+2)×√[(1-x)+(x+1/2)]=√9=3