椭圆证明题,椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与x轴交于两点A、B,点P是椭圆C上异于A、B的任意
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/13 21:32:57
椭圆证明题,
椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与x轴交于两点A、B,点P是椭圆C上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别与y轴交于点M、N,求证:向量AN.向量BM为定值b^2-a^2
椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与x轴交于两点A、B,点P是椭圆C上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别与y轴交于点M、N,求证:向量AN.向量BM为定值b^2-a^2
设AP,BP的斜率分别是k1 , k2(一定存在,因为点P异于A、B)
又设点P坐标为(x,y)
则k1=y/x+a ,k2=y/x-a (斜率公式)
k1*k2=y^2/(x^2-a^2)
由椭圆公式,解出y^2的值,代入上式 得k1*k2= [b^2-(b^2*x^2)/a^2]/(x^2-a^2) 这里只是分子代入了椭圆方程 仔细看下
上式化简得 k1*k2=-b^2/a^2 (给分子提取公因式-b^2/a^2,则余下部分约掉了 )
现使用点斜式,分别写出AP , BP的直线方程,求其与y轴交点
AP :y=k1(x+a) BP : y=k2 (x-a)
令x=0,分别求得 y=a*k1 和 y=-a*k2
则M点坐标(0,a*k1) N(0,-a*k2),所以可以求得向量AN=(a,-a*k2),向量BM=(-a,a*k1)
向量AN·向量BM= -a^2-a^2*k1*k2 (横纵坐标之积的和)
=-a^2 (1+k1*k2)
=-a^2 (1-b^2/a^2) (前面求的)
=b^2-a^2
又设点P坐标为(x,y)
则k1=y/x+a ,k2=y/x-a (斜率公式)
k1*k2=y^2/(x^2-a^2)
由椭圆公式,解出y^2的值,代入上式 得k1*k2= [b^2-(b^2*x^2)/a^2]/(x^2-a^2) 这里只是分子代入了椭圆方程 仔细看下
上式化简得 k1*k2=-b^2/a^2 (给分子提取公因式-b^2/a^2,则余下部分约掉了 )
现使用点斜式,分别写出AP , BP的直线方程,求其与y轴交点
AP :y=k1(x+a) BP : y=k2 (x-a)
令x=0,分别求得 y=a*k1 和 y=-a*k2
则M点坐标(0,a*k1) N(0,-a*k2),所以可以求得向量AN=(a,-a*k2),向量BM=(-a,a*k1)
向量AN·向量BM= -a^2-a^2*k1*k2 (横纵坐标之积的和)
=-a^2 (1+k1*k2)
=-a^2 (1-b^2/a^2) (前面求的)
=b^2-a^2
已知椭圆C的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,
已知椭圆5x^2+9y^2=45,A(-3,0)B(3,0),P是椭圆上异于A,B的任意一点,直线AP,BP分别交Y轴于
椭圆C的焦点在x轴上,焦距为2,直线n:x-y-1=0与椭圆C交于A、B两点,F1是左焦点,且F1A┴F1B,则椭圆C的
已知椭圆C:X^2/4+y^2/3=1,点P(4,0),A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点,连结PB交椭圆C
已知椭圆C:X^2/2+Y^2=1.若过点M(2,0)的直线与椭圆C交于两点A、B,设P为椭圆上一点,且满足向量OA+向
已知椭圆x^2/4+y^2/2=1,过F1的直线l与椭圆C交于A,B两点,若椭圆C上存在点P,使得向量OP=向量OA+向
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,A,B是椭圆长轴的两个端点,p是椭圆上异于A,B上 任意一点,若PA,PB的
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,A,B是椭圆短轴的两个端点,p是椭圆上异于A,B上 任意一点,若PA,PB的
圆锥曲线题 已知A1,A2,B是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的顶点,直线l与椭圆交于异于顶点的P
高中的一道椭圆题椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上有2点P和QP,Q在x轴上的射影分别是椭圆的左
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的长轴为短轴的根号3倍,直线y=x与椭圆交于A,B两点,C为椭圆的右顶点,向量OA
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的长轴长为4,离心率为1/2,点P是椭圆上异于顶点的任意一点,过