数学动脑筋一题有一个保险柜由11个成员管理,保险柜上加了若干把锁,这些锁的钥匙分配给各个成员保管使用.为了使任何6个成员
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/03 01:54:49
数学动脑筋一题
有一个保险柜由11个成员管理,保险柜上加了若干把锁,这些锁的钥匙分配给各个成员保管使用.为了使任何6个成员到场就能打开保险柜,而任何5个成员到场都不能打开柜门.最少应给保险柜加上几把锁?
请附上简要过程说明,只有答案不得分.
有一个保险柜由11个成员管理,保险柜上加了若干把锁,这些锁的钥匙分配给各个成员保管使用.为了使任何6个成员到场就能打开保险柜,而任何5个成员到场都不能打开柜门.最少应给保险柜加上几把锁?
请附上简要过程说明,只有答案不得分.
想了一天,不知道对不对,以下是我的答案:
设满足要求的最少把数的锁为n把,并记这n把锁的集合是A,Ai(i是下标)是第i个成员可以打开的锁的集合.对于{1,2,...,11}的任何5元子集{i1(数字是下标),i2,...,i5},有
Ai1(i是A的下标,1是i的下标,依此类推)并 Ai2 并 Ai3 并 Ai4 并 Ai5不等于A;
同理对于{1,2,...,11}的任何6元子集{j1,j2,...,j6}
Aj1 并 Aj2 并 Aj3 并 Aj4 并 Aj5 并 Aj6=A
设x(i1…i5)是锁的编号为i1,i2...,i5的那5个成员打不开的一把锁,而对于任何j不属于{i1,i2,...,i5},x(i1…i5)一定属于Aj
综上所述,可以得到{1,2,...,11}的5元子集与锁之间的关系应该是一个单射关系(证明从略,因为我还没有得到一个十分严谨的证法,不好写上来).
因为{1,2,...,11}的不同5元子集有C(5,11)=462个(就是11个中取5个的组合数),所以锁的数量至少是462把.
换句话说,给宝箱加上462把锁(现实生活中应该不会有人这么干的),并将这些锁与集合{1,2,...,11}的462个5元子集一一对应,将每把锁的6枚钥匙分发给这把锁所对应的5人组之外的6个成员保管使用,则任何5个成员都有一把锁打不开,而任何6个成员都能打开全部锁.符合要求.
所以,至少有462把锁.
设满足要求的最少把数的锁为n把,并记这n把锁的集合是A,Ai(i是下标)是第i个成员可以打开的锁的集合.对于{1,2,...,11}的任何5元子集{i1(数字是下标),i2,...,i5},有
Ai1(i是A的下标,1是i的下标,依此类推)并 Ai2 并 Ai3 并 Ai4 并 Ai5不等于A;
同理对于{1,2,...,11}的任何6元子集{j1,j2,...,j6}
Aj1 并 Aj2 并 Aj3 并 Aj4 并 Aj5 并 Aj6=A
设x(i1…i5)是锁的编号为i1,i2...,i5的那5个成员打不开的一把锁,而对于任何j不属于{i1,i2,...,i5},x(i1…i5)一定属于Aj
综上所述,可以得到{1,2,...,11}的5元子集与锁之间的关系应该是一个单射关系(证明从略,因为我还没有得到一个十分严谨的证法,不好写上来).
因为{1,2,...,11}的不同5元子集有C(5,11)=462个(就是11个中取5个的组合数),所以锁的数量至少是462把.
换句话说,给宝箱加上462把锁(现实生活中应该不会有人这么干的),并将这些锁与集合{1,2,...,11}的462个5元子集一一对应,将每把锁的6枚钥匙分发给这把锁所对应的5人组之外的6个成员保管使用,则任何5个成员都有一把锁打不开,而任何6个成员都能打开全部锁.符合要求.
所以,至少有462把锁.
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