（2013•莆田）在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN．作MF⊥A

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/07/16 20:51:41

（2013•莆田）在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．
（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；
（2）拓展探究：若AC≠BC．
①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；
②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．

（1）证明：若AC=BC，则△ABC为等腰直角三角形，

如答图1所示，连接CD，则CD⊥AB，又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2．
在△AND与△CMD中，

∠1＝∠2
AD＝CD
∠A＝∠DCM＝45°
∴△AND≌△CMD（ASA），
∴DN=DM．
∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3，
∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5，
在△NED与△DFM中，

∠4＝∠3
DN＝DM
∠1＝∠5
∴△NED≌△DFM（ASA），
∴NE=DF．
∵△ANE为等腰直角三角形，∴AE=NE，∴AE=DF．

（2）①答：AE=DF．
证法一：由（1）证明可知：△DEN∽△MFD
∴
DE
MF＝
EN
DF，即MF•EN=DE•DF．
同理△AEN∽△MFB，
∴
AE
MF＝
EN
BF，即MF•EN=AE•BF．
∴DE•DF=AE•BF，
∴（AD-AE）•DF=AE•（BD-DF），
∴AD•DF=AE•BD，∴AE=DF．
证法二：如答图2所示，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q．

∵D为AB中点，
∴DQ=PC=PB．
易证△DMF∽△NDE，∴
DF
NE＝
DM
DN，
易证△DMP∽△DNQ，∴
DM
DN＝
DP
DQ＝
DP
PB，
∴
DF
NE＝
DP
PB；
易证△AEN∽△DPB，∴
AE
NE＝
DP
PB，
∴
DF
NE＝

在Rt△ABC,∠C=90°,D为AB边上一点,点M、N分别在BC、AC边上,且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F,NE⊥A 如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC交AB于点E．在△ABC中,∠C=90°,D为AB中点,点M,N分别为射线AC,射线CB上一点,且DM⊥DN. 如图,在△ABC中,∠C=90°,点D是AB边上的一点,DM⊥AB且DM=AC,过点M作ME∥BC交AB于点E 如图,在△ABc中,角c=90度,点D是AB边上一点,DM⊥AB,且DM=AC,过点M作ME//Bc交AB于点E,求证: 在△ABC中,E是BC边上的中点,DE⊥BC于E点,交∠BAC的平分线AD于D,过D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N, 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,D是AB边上一点,E是在AC边上的一个动点（与点A、C不重合）,DF⊥ 在△ABC中,∠ABC=90°,AC=BC,点D为AB中点M、N分别在BC、AC上且BM=CN求证DM=DN和判断△DM 如图在△abc中,∠c=90°,点d是bc边上的一点,md⊥ab,且md=ac,过点m作me∥bc交ab于点e.求证：如图,在△ABC中,∠C=90°,点D是AB边上的一点,MD⊥AB,且MD=AC,过点M作ME//BC交AB于点E.求证在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D为AB中点,M,N分别在BC,AC上,且BM=CN求证DM=DN 如图,在△ABC中,∠C=90°,点D是AB边上的一点,DM⊥AB,过点M作ME‖BC交AB于E