已知|x|≤1,|y|≤1,证明|x+y|≤|1+xy|

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/09/02 11:35:59

已知|x|≤1,|y|≤1,证明|x+y|≤|1+xy|
用分析法证明

证明：
可以利用作差比较法
∵ |1+xy|²-|x+y|²
= (1+xy)²-(x+y)²
=1+2xy+x²y²-(x²+2xy+y²)
=1+x²y²-x²-y²
=1-x²+y²(x²-1)
=(1-x²)(1-y²)
∵ |x|≤1,|y|≤1
∴ 1-x²≥0,1-y²≥0
∴ (1-x²)(1-y²)≥0
∴ |1+xy|²-|x+y|²≥0
∴ |1+xy|²≥|x+y|²
∴ |x+y|≤|1+xy|
再问：不好意思，要用分析法证明
再答：一样啊，倒过来即可要证 |x+y|≤|1+xy| 只需证 |1+xy|²≥|x+y|² 只需证 1+2xy+x²y²≥x²+2xy+y² 只需证 1+x²y²≥x²+y² 只需证 1+x²y²-x²-y²≥0 只需证 (1-x²)(1-y²)≥0 ∵ |x|≤1,|y|≤1 ∴ 1-x²≥0,1-y²≥0 ∴ (1-x²)(1-y²)≥0成立 ∴ |x+y|≤|1+xy|

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