作业帮若a,b,c均为正数若a,b,c均为正数且a+b+c=1,求证:⑴ a^2+b^2+c^2≥1/3 ⑵1/a^2+1/b
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/08 09:54:48
若a,b,c均为正数
若a,b,c均为正数且a+b+c=1,求证:⑴ a^2+b^2+c^2≥1/3 ⑵1/a^2+1/b^2+1/c^2≥27
若a,b,c均为正数且a+b+c=1,求证:⑴ a^2+b^2+c^2≥1/3 ⑵1/a^2+1/b^2+1/c^2≥27
证：(1)该式齐次化为：a^2+b^2+c^2>=[(a+b+c)^2]/3
上式等价于：3a^2+3b^2+3c^2>=a^2+b^2+c^2>=2ab+2bc+2ca
2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2bc+2ca
(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)>=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0
上式显然成立.
(2)很简单,由卡尔松不等式：
(a+b+c)(a+b+c)(1/a^2+1/b^2+1/c^2)>=(1+1+1)^3=27
即1/a^2+1/b^2+1/c^2>=27
证毕,
上式等价于：3a^2+3b^2+3c^2>=a^2+b^2+c^2>=2ab+2bc+2ca
2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2bc+2ca
(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)>=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0
上式显然成立.
(2)很简单,由卡尔松不等式：
(a+b+c)(a+b+c)(1/a^2+1/b^2+1/c^2)>=(1+1+1)^3=27
即1/a^2+1/b^2+1/c^2>=27
证毕,
设A.B.C均为正数,求证c/(a+b)+a/(b+c)+b/(c+a)>=3/2
高二均值不等式,已知a,b,c都为正数,求证：(a+b+c)(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))>=9/2
已知a ,b ,c 为正数,求证 a^2a × b^2b × c^2c ≥a^（b+c） × b^（c+a） × c^（
a,b,c均为正数,且2^a=log1/2 a ,(1/2)^b=log1/2 b ,(1/2)^c=log2 c ,则
已知a,b均为正数,2c>a+b,求证c^2>ab
已知abc均为正数,求证1/2a+1/2b+1/2c>1/a+b +1/b+c +1/a+c
已知a,b,c都是正数 a+b+c=1 求证a^3+b^3+c^3>=(a^2+b^2+c^2)/3
已知a,b,c均为正数且a+b+c=1,求证a分之1+b分之1+c分之1大于等于9?
若正数a+b+c=1则2a+3b+c最小值为?用柯西不等式如何配凑?
已知a,b为正数,2c>a+b,求证:c-根号c*2-ab
已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+( 1 a + 1 b + 1 c )2≥6 根号3 ,并确定a,b,c
[5分可能有追分]设a.b.c均为正数,且2^a=log1/2 (a),(1/2)^b,(1/2)^c=log2 (c)