设B是m×n矩阵,BBT可逆,A=E-BT(BBT)-1B,其中E是n阶单位矩阵.证明：1.AT=A 2.A²

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/01 20:15:13

设B是m×n矩阵,BBT可逆,A=E-BT(BBT)-1B,其中E是n阶单位矩阵.证明：1.AT=A 2.A²;=A
设B是m×n矩阵,BBT可逆,A=E-BT(BBT)-1B,其中E是n阶单位矩阵.证明：1.AT=A 2.A²=A

1.记 A' = A^T
A' = [E - B' (BB')^(-1) B]'
= E' - [B'(BB')^(-1)B]'
= E - B' [(BB')']^(-1) (B')'
= E - B' (BB')^(-1) B
= A.
2.A^2 = [E - B' (BB')^(-1) B]^2 = E^2 + B' (BB')^(-1)[ BB' (BB')^(-1) ]B -2B' (BB')^(-1) B
= E + B' (BB')^(-1) B - 2B' (BB')^(-1) B
= E - B' (BB')^(-1) B
= A.
注意其中用到矩阵乘法结合律.
再问：第2题的第2步是不是漏了几个字母呀B' (BB')^(-1)[ BB' (BB')^(-1) ]B -2B' (BB')^(-1) B
再答：没有 B' (BB')^(-1) B 的平方 = B' (BB')^(-1) BB' (BB')^(-1) B , 中间一结合, BB' 与其逆消去一个

设矩阵A=aaT+bbT,这里a,b为n维向量.证明:(1)R(A) 设A,B是n阶矩阵,E是n阶单位矩阵,且AB=A-B证明A+E可逆,证明AB=BA 设A为N阶对称矩阵,B为N阶可逆矩阵,且B-1=BT,证明B-1AB是对称矩阵设A,B是n阶方阵,E是n阶单位矩阵,且AB=A-B,证明A+B可逆设A是n*m阶矩阵,B是m*n阶矩阵,如果En-AB是可逆矩阵,（E是单位矩阵）,证明：Em-BA也是可逆矩阵设A,B为N阶矩阵,满足2(B^-1)A=A-4E,E为N阶单位矩阵,证明：B-2E为可逆矩阵,并求它的逆矩阵设N阶矩阵A,B满足条件A+B=AB 1证明A—E是可逆矩阵,并求其逆 2证明AB＝BA a,b为三维列向量,矩阵A=aaT+bbT,证明1.秩r(A) 设a,b为三维列向量,矩阵A=aaT+bbT,证明1.秩r(A) 设A是m阶可逆阵,B是m×n矩阵,C是n×m矩阵且矩阵(E+C·A的逆·B)可逆.证明：（A+BC）可逆,且（A+BC）已知A ,B都是n阶矩阵,且E-AB是可逆矩阵,证明E-BA是可逆矩阵. 设A,B为n阶方阵,E为n阶单位矩阵,证明：若A+B=AB,则A-E可逆.