作业帮一个函数奇偶性和周期性的问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/06 02:21:03
一个函数奇偶性和周期性的问题
对函数f(x)在（-∞,+∞）上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在[0,7]上只有f(1)=f(3)=0
(1)判断函数f(x)的奇偶性
(2)求函数f(x)=0在[-2005,2005]上的根的个数
对函数f(x)在（-∞,+∞）上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在[0,7]上只有f(1)=f(3)=0
(1)判断函数f(x)的奇偶性
(2)求函数f(x)=0在[-2005,2005]上的根的个数
1.
把5-x带入f(2-x)=f(2+x)得：f(-3+x)=f(7-x)
则f(-3+x)=f(7+x)
代x+3:f(x)=f(x+10),所以f(x)的周期是10.
若f(x)是奇函数,则f(-1)=-f(1)=0
f(-1)关于x=2对称的是f(5),则f(5)=0,与题目矛盾,所以不是奇函数.
若是偶函数,同理得f(-1)=f(1)=0,同样矛盾,
所以f(x)不是奇函数,也不是偶函数.
2.在[0,10]内,已有x=1,x=3两个零点,若在[7,10]内由零点,根据f(x)关于
x=7对称,则在[4,7]内也有零点,因此不可能,所以在[0,10]仅有2个零点.
有周期性知,在[-2000,2000]中有400*2=800个,另外,x=2001,2003,也是零
点,因此共有802个
把5-x带入f(2-x)=f(2+x)得：f(-3+x)=f(7-x)
则f(-3+x)=f(7+x)
代x+3:f(x)=f(x+10),所以f(x)的周期是10.
若f(x)是奇函数,则f(-1)=-f(1)=0
f(-1)关于x=2对称的是f(5),则f(5)=0,与题目矛盾,所以不是奇函数.
若是偶函数,同理得f(-1)=f(1)=0,同样矛盾,
所以f(x)不是奇函数,也不是偶函数.
2.在[0,10]内,已有x=1,x=3两个零点,若在[7,10]内由零点,根据f(x)关于
x=7对称,则在[4,7]内也有零点,因此不可能,所以在[0,10]仅有2个零点.
有周期性知,在[-2000,2000]中有400*2=800个,另外,x=2001,2003,也是零
点,因此共有802个