高中立体几何——线面问题
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/24 06:25:38
高中立体几何——线面问题
边长相等的两个正方形ABCD和ABEF所在平面交于AB,M为BD上一点,N为AE,且BM=EN,求证MN垂直于AB.
注:此题无图,若再副上一幅图来解再加分
边长相等的两个正方形ABCD和ABEF所在平面交于AB,M为BD上一点,N为AE,且BM=EN,求证MN垂直于AB.
注:此题无图,若再副上一幅图来解再加分
过M点作MO⊥AB交AB于O点,连接NO,过O点作OP‖AE交BE于P点,如图
由MO⊥AB易得△OMB为等腰直角三角形,设BM=NE=x,则有BO=xcos45°
∵OP‖AE
∴∠POB=∠EAB=45°,△POB为等腰直角三角形
∴OP=BO/cos45°=xcos45°/cos45°=x=EN
又∵OP‖AE
∴四边形NEOP为平行四边形
∴NO‖BE
∴∠NOA=∠EBA=90°,即AB⊥NO
又∵AB⊥MO
∴AB⊥面OMN
∴AB⊥MN
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/1b/91bf081b4e0ccc45155b0351e700a56b.jpg)
由MO⊥AB易得△OMB为等腰直角三角形,设BM=NE=x,则有BO=xcos45°
∵OP‖AE
∴∠POB=∠EAB=45°,△POB为等腰直角三角形
∴OP=BO/cos45°=xcos45°/cos45°=x=EN
又∵OP‖AE
∴四边形NEOP为平行四边形
∴NO‖BE
∴∠NOA=∠EBA=90°,即AB⊥NO
又∵AB⊥MO
∴AB⊥面OMN
∴AB⊥MN
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/1b/91bf081b4e0ccc45155b0351e700a56b.jpg)