直线l过抛物线Y2=4x的焦点,与抛物线交与A,B两点(1)若AB=8,求直线l的方程(2)求弦AB的重点P的轨迹方程
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/02 08:22:03
直线l过抛物线Y2=4x的焦点,与抛物线交与A,B两点(1)若AB=8,求直线l的方程(2)求弦AB的重点P的轨迹方程
(1)设抛物线y²=4x的准线为L,L与x轴交于点M
焦点为F,则点F坐标为(1,0)
过点A、B分别作直线L的垂线,垂足分别为A'、B'
再过点B作AA'的垂线,垂足为C,且BC交x轴与点D
由抛物线定义可知,
|FM|=2,|AA'|=|AF|,|BB'|=|FB|
不妨先设|FB|=a,|AF|>|FB|(由于|AB|≠2p=4,故AB不是抛物线的通径,即|AF|≠|FB|).
则|AF|=8-a
则|AC|=|AA'|-|BB'|=8-2a,|FD|=2-a
由于直角△BDF∽直角△BCA
因此|FD|/|AC|=|BF|/|BA|
解之得a=4-2√2(其中4+2√2>8/2=4,舍去)
则sin角BFD=|FD|/|FB|=√2/2,即角BFD=45°
则kAB=tan角BFD=1
对称的,当|AF|<|FB|时,角BFD=135°,kAB=-1
故所求直线AB的方程为
y=x+1或y=-x+1
(2)设弦AB中点P坐标为(x,y),A(x',y')B(x'',y'')
则y'²=4x'…………①
y''²=4x''…………②
由于点A、B、F共线
则y''(x'-1)=y'(x''-1)…………③
②+①得
y'²+y''²=4x'+4x''
(y'+y'')²-2y'y''=4(x'+x'')…………④
将①②中的x'、x''带入③得
y''(y'²/4-1)=y'(y''²/4-1)
整理得y'y''=4…………⑤
又由于
即P为AB中点
则2x=x'+x'',2y=y'+y''
将上述两式和⑤带入④得
4y²-8=8x
整理得点P的轨迹方程为
y²=2(x+1)
注:你如果学习过极坐标,此题运用极坐标下的抛物线方程计算会更简便一些.
焦点为F,则点F坐标为(1,0)
过点A、B分别作直线L的垂线,垂足分别为A'、B'
再过点B作AA'的垂线,垂足为C,且BC交x轴与点D
由抛物线定义可知,
|FM|=2,|AA'|=|AF|,|BB'|=|FB|
不妨先设|FB|=a,|AF|>|FB|(由于|AB|≠2p=4,故AB不是抛物线的通径,即|AF|≠|FB|).
则|AF|=8-a
则|AC|=|AA'|-|BB'|=8-2a,|FD|=2-a
由于直角△BDF∽直角△BCA
因此|FD|/|AC|=|BF|/|BA|
解之得a=4-2√2(其中4+2√2>8/2=4,舍去)
则sin角BFD=|FD|/|FB|=√2/2,即角BFD=45°
则kAB=tan角BFD=1
对称的,当|AF|<|FB|时,角BFD=135°,kAB=-1
故所求直线AB的方程为
y=x+1或y=-x+1
(2)设弦AB中点P坐标为(x,y),A(x',y')B(x'',y'')
则y'²=4x'…………①
y''²=4x''…………②
由于点A、B、F共线
则y''(x'-1)=y'(x''-1)…………③
②+①得
y'²+y''²=4x'+4x''
(y'+y'')²-2y'y''=4(x'+x'')…………④
将①②中的x'、x''带入③得
y''(y'²/4-1)=y'(y''²/4-1)
整理得y'y''=4…………⑤
又由于
即P为AB中点
则2x=x'+x'',2y=y'+y''
将上述两式和⑤带入④得
4y²-8=8x
整理得点P的轨迹方程为
y²=2(x+1)
注:你如果学习过极坐标,此题运用极坐标下的抛物线方程计算会更简便一些.
抛物线x^2=4y 的焦点为F,过点(0,-1)作直线L交抛物线A、B两点,求AB中点的轨迹方程
过抛物线y2=4x焦点F的直线L与它交于A,B两点,则弦AB的中点的轨迹方程是多少
直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,与抛物线交于A,B两点,则弦AB中点的轨迹方程为______.
直线L过抛物线y^2=8x的焦点,且与抛物线交于A.B两点,求线段AB两点,求线段AB的中点M的轨迹方程
过抛物线y2 =2px (p>0)焦点,且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若AB=8,求抛物线方程
过抛物线y^2=4x的焦点作直线与抛物线交于A、B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程
设抛物线x^2=-4y的准线与y轴的焦点为C,过点C作直线l交抛物线A、B两点,求线段AB中点M的轨迹方程.
1.设抛物线x^2=-4y的准线与y轴的焦点为C,过点C作直线l交抛物线A、B两点,求线段AB中点M的轨迹方程.
过抛物线y^2=4x的焦点且斜率为2的直线l交抛物线于A,B两点求l的方程.求/AB/
求直线方程已知抛物线C:y的平方=2PX过点A(1,-2)直线L过抛物线C的焦点F与抛物线C交于A,B两点,弦AB的长为
过抛物线y2=4x焦点F的直线L与它交于A,B两点,若|AB|=8,求三角形AOB面积
已知抛物线y^2=4x的焦点为F,过点F的直线l与抛物线交于A.B两点|AB|=8 求AB的直线方程