a+b+c=3 求证1/a²+1/b²+1/c²≥a²+b²+c
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/13 19:43:06
a+b+c=3 求证1/a²+1/b²+1/c²≥a²+b²+c²
c属于R+
c属于R+
可以考虑用切线法构造局部不等式.
构造出来是:1/x²-x² ≥ 4-4x,可重新整理为(x-1)²(x²-2x-1)/x² ≤ 0.
因此当0 < x ≤ 1+√2时,成立1/x²-x² ≥ 4-4x.
①当0 < a,b,c ≤ 1+√2时.
由上述不等式,有1/a²-a² ≥ 4-4a,1/b²-b² ≥ 4-4b,1/c²-c² ≥ 4-4c.
相加得1/a²+1/b²+1/c²-(a²+b²+c²) ≥ 12-4(a+b+c) = 0,
也即1/a²+1/b²+1/c² ≥ a²+b²+c²,所证不等式成立.
②若a,b,c之一大于1+√2,不妨设a > 1+√2 > 7/3.
则b+c = 3-a < 2/3,b,c至少有一个小于1/3.
故1/a²+1/b²+1/c² > 9 = (a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca > a²+b²+c².
所证不等式同样成立.
构造出来是:1/x²-x² ≥ 4-4x,可重新整理为(x-1)²(x²-2x-1)/x² ≤ 0.
因此当0 < x ≤ 1+√2时,成立1/x²-x² ≥ 4-4x.
①当0 < a,b,c ≤ 1+√2时.
由上述不等式,有1/a²-a² ≥ 4-4a,1/b²-b² ≥ 4-4b,1/c²-c² ≥ 4-4c.
相加得1/a²+1/b²+1/c²-(a²+b²+c²) ≥ 12-4(a+b+c) = 0,
也即1/a²+1/b²+1/c² ≥ a²+b²+c²,所证不等式成立.
②若a,b,c之一大于1+√2,不妨设a > 1+√2 > 7/3.
则b+c = 3-a < 2/3,b,c至少有一个小于1/3.
故1/a²+1/b²+1/c² > 9 = (a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca > a²+b²+c².
所证不等式同样成立.
已知a>b>c,求证a²b+b²c+c²a>ab²+bc²+ca
abc属于实数,a²+b²+c²=1求证|a+b+c|≤根号3
帮个忙进来.已知一元二次方程a(b-c)x²+b(c-a)x+c(a-b)=0有两个相等的实根求证:1/a,1
已知a、b、c满足a²+2b=7,b-2c=1,c²-6c=17,求a+b+c的值
已知实数a、b、c满足1/2|a-b|+根号2b+c+c²-c+1/4=0,求a(b+c)的值
已知a,b,c满足1\2|a+b|+√(2b+c)+c²+1\4-c=0,求a(b+c)的值
已知a+b+c=1,求证:(a/1+b+c)+(b/1+a+c)+(c/1+a+b)≥3/5
已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,求证b/(a+1)+c/(b+1)+a/(c+1)≥3/4
已知a+b-c=-3,求(1-a-b+c)²-2a-2b+2c的值
已知a≥b≥c,a+b+c=1,abc>0,且a³-2a²+a-2≥0,求|a|+|b|+|c
已知a,b,c,满足绝对值a-2+√a-2b+c+c²-c+1/4=0求±√a+b+c
【数学】已知:(b-c)²=(c-a)²=(a-b)²,求证a=b=c