设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x平方-anx-an=0有一根为Sn-1
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/03 01:21:17
设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x平方-anx-an=0有一根为Sn-1
n=1,2,3,…….,求S1,S2,S3,猜想并证明Sn的通项公式
n=1,2,3,…….,求S1,S2,S3,猜想并证明Sn的通项公式
∵数列{a[n]}的前n项和为S[n],且方程x^2-a[n]x-a[n]=0有一根为S[n]-1
∴(S[n]-1)^2-a[n](S[n]-1)-a[n]=0
当n=1时:
∵(S[1]-1)^2-a[1](S[1]-1)-a[1]=0
(a[1]-1)^2-a[1](a[1]-1)-a[1]=0
a[1]^2-2a[1]+1-a[1]^2+a[1]-a[1]=0
a[1]=1/2
∴S[1]=a[1]=1/2
当n=2时:
∵(S[2]-1)^2-a[2](S[2]-1/2)-a[2]=0
(a[2]+S[1]-1)^2-a[2](a[2]+S[1]-1)-a[2]=0
(a[2]-1/2)^2-a[2](a[2]-1/2)-a[2]=0
a[2]^2-a[2]+1/4-a[2]^2+a[2]/2-a[2]=0
3a[2]/2=1/4
a[2]=1/6
∴S[2]=a[1]+a[2]=1/2+1/6=2/3
当n=3时:
∵(S[3]-1)^2-a[3](S[3]-1/2)-a[3]=0
(a[3]+S[2]-1)^2-a[3](a[3]+S[2]-1)-a[3]=0
(a[3]-1/3)^2-a[3](a[3]-1/3)-a[3]=0
a[3]^2-2a[3]/3+1/9-a[3]^2+a[3]/3-a[3]=0
4a[3]/3=1/9
a[3]=1/12
∴S[3]=a[1]+a[2]+a[3]=1/2+1/6+1/12=3/4
猜想:S[n]=n/(n+1)
证明:
∵(S[n]-1)^2-a[n](S[n]-1)-a[n]=0
(S[n]-1)^2-(S[n]-S[n-1])(S[n]-1)-(S[n]-S[n-1])=0
S[n]^2-2S[n]+1-S[n]^2+S[n]+S[n]S[n-1]-S[n-1]-S[n]+S[n-1]=0
-2S[n]+1+S[n]S[n-1]=0
2S[n]-S[n]S[n-1]=1
∴S[n]=1/(2-S[n-1])
用不动点法:x=1/(2-x),得:x=1
∵S[n]-1=1/(2-S[n-1])-1=(S[n-1]-1)/(2-S[n-1])
1/(S[n]-1)=(2-S[n-1])/(S[n-1]-1)=1/(S[n-1]-1)-1
1/(S[n]-1)-1/(S[n-1]-1)=-1
∴{1/(S[n]-1)}是首项为1/(S[1]-1)=-2,公差为-1的等差数列
即:1/(S[n]-1)=-2-(n-1)=-n-1
S[n]-1=-1/(n+1)
∴S[n]=n/(n+1)
∴(S[n]-1)^2-a[n](S[n]-1)-a[n]=0
当n=1时:
∵(S[1]-1)^2-a[1](S[1]-1)-a[1]=0
(a[1]-1)^2-a[1](a[1]-1)-a[1]=0
a[1]^2-2a[1]+1-a[1]^2+a[1]-a[1]=0
a[1]=1/2
∴S[1]=a[1]=1/2
当n=2时:
∵(S[2]-1)^2-a[2](S[2]-1/2)-a[2]=0
(a[2]+S[1]-1)^2-a[2](a[2]+S[1]-1)-a[2]=0
(a[2]-1/2)^2-a[2](a[2]-1/2)-a[2]=0
a[2]^2-a[2]+1/4-a[2]^2+a[2]/2-a[2]=0
3a[2]/2=1/4
a[2]=1/6
∴S[2]=a[1]+a[2]=1/2+1/6=2/3
当n=3时:
∵(S[3]-1)^2-a[3](S[3]-1/2)-a[3]=0
(a[3]+S[2]-1)^2-a[3](a[3]+S[2]-1)-a[3]=0
(a[3]-1/3)^2-a[3](a[3]-1/3)-a[3]=0
a[3]^2-2a[3]/3+1/9-a[3]^2+a[3]/3-a[3]=0
4a[3]/3=1/9
a[3]=1/12
∴S[3]=a[1]+a[2]+a[3]=1/2+1/6+1/12=3/4
猜想:S[n]=n/(n+1)
证明:
∵(S[n]-1)^2-a[n](S[n]-1)-a[n]=0
(S[n]-1)^2-(S[n]-S[n-1])(S[n]-1)-(S[n]-S[n-1])=0
S[n]^2-2S[n]+1-S[n]^2+S[n]+S[n]S[n-1]-S[n-1]-S[n]+S[n-1]=0
-2S[n]+1+S[n]S[n-1]=0
2S[n]-S[n]S[n-1]=1
∴S[n]=1/(2-S[n-1])
用不动点法:x=1/(2-x),得:x=1
∵S[n]-1=1/(2-S[n-1])-1=(S[n-1]-1)/(2-S[n-1])
1/(S[n]-1)=(2-S[n-1])/(S[n-1]-1)=1/(S[n-1]-1)-1
1/(S[n]-1)-1/(S[n-1]-1)=-1
∴{1/(S[n]-1)}是首项为1/(S[1]-1)=-2,公差为-1的等差数列
即:1/(S[n]-1)=-2-(n-1)=-n-1
S[n]-1=-1/(n+1)
∴S[n]=n/(n+1)
设数列{An}的前n项的和为Sn,且方程x平方-Anx-An=0.有一根为Sn-1,n=1,2,3.
设数列{an}的前n项的和为Sn,且方程x^2-anx-an=0,有一根为Sn-1,n=1,2,3,...,求a1、a2
设数列{an}的前n项和为Sn.且方程X^2-an*X-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3求{an}的通项公式
设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2^n-1.
已知数列sn各项为非零实数,前n项和为sn且sn平方-n平方*sn-(n平方+1)=0 求an通项
设数列An的前n项和为Sn,且a1=1,An+1=1/3Sn,
设等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=((an+1)/2)平方(n属于正整数),若bn=(-1)^nSn,求数列{
数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,Sn大于0,且an=2Sn平方除以(2Sn-1),设存在正整数k,
请教一道数列题的解法已知数列an的n项和为Sn,且x2-anx-an=0,Sn -1为一个根,求an的通项公式Sn -1
设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,an+Sn=4096
设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,an+Sn=4096.
设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,且对于所有的正整数n,有4Sn=(an+1)2