作业帮正交矩阵一定是实矩阵吗
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/05 22:38:18
正交矩阵一定是实矩阵吗
我问过我们老师,老师说正交矩阵一定是实矩阵,可是我不知道为什么 给个提示也好 感激不尽
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正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵,因此总是正规矩阵.尽管我们在这里只考虑实数矩阵,这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵.正交矩阵毕竟是从内积自然引出的,对于复数的矩阵这导致了归一要求.
注意正交矩阵的定义 n阶‘实矩阵’ A称为正交矩阵,如果：A×A′=E（E为单位矩阵,A'表示“矩阵A的转置矩阵”.） 若A为正交阵,则下列诸条件是等价的: 1) A 是正交矩阵 2) A×A′=E（E为单位矩阵） 3) A′是正交矩阵 4) A的各行是单位向量且两两正交 5) A的各列是单位向量且两两正交 6) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R
再来看一下欧式空间的定义 设V是‘实数域’R上的线性空间（或称为向量空间）,若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积）,则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时,才称为欧几里德空间）.具体来说,g是V上的二元实值函数,满足如下关系： （1）g(x,y)=g(y,x)； （2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)； （3）g(kx,y)=kg(x,y)； （4）g(x,x)>=0,而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立. 这里x,y,z是V中任意向量,k是任意实数.
有以上足以看出 正交矩阵是实矩阵范畴中的矩阵
注意正交矩阵的定义 n阶‘实矩阵’ A称为正交矩阵,如果：A×A′=E（E为单位矩阵,A'表示“矩阵A的转置矩阵”.） 若A为正交阵,则下列诸条件是等价的: 1) A 是正交矩阵 2) A×A′=E（E为单位矩阵） 3) A′是正交矩阵 4) A的各行是单位向量且两两正交 5) A的各列是单位向量且两两正交 6) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R
再来看一下欧式空间的定义 设V是‘实数域’R上的线性空间（或称为向量空间）,若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积）,则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时,才称为欧几里德空间）.具体来说,g是V上的二元实值函数,满足如下关系： （1）g(x,y)=g(y,x)； （2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)； （3）g(kx,y)=kg(x,y)； （4）g(x,x)>=0,而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立. 这里x,y,z是V中任意向量,k是任意实数.
有以上足以看出 正交矩阵是实矩阵范畴中的矩阵