初中数学难题（必须用初中知识做）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/07 03:58:44

初中数学难题（必须用初中知识做）
用描点法画出x²+3y²=4（x≠±1）的图像.点B与点A（-1,1）关于原点O对称,P是动点,且P点在x²+3y²=4（x≠±1）的图像上,设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,则存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等,求点P的坐标.

【分析】
设点P的坐标为（x0,y0）,则根据函数图象上点的坐标特征知x0²+3y0²=4．首先,根据点A的坐标求得点B的坐标为（1,-1）；然后,利用三角形的面积公式S=1/2absinC列出等式1/2|PA|•|PB|sin∠APB=1/2|PM|•|PN|sin∠MPN．即|PA|/|PM|=|PN|/|PB|；再根据两点间的距离公式求得|x0+1|/|3-x0|=|3-x0|/|x0-1|,即(3-x0)²=|x0²-1|,解得x0=5/3．易求y0的值.

∵点B与点A（-1,1）关于原点O对称
∴点B的坐标为（1,-1）
若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等
设点P的坐标为（x0,y0）
则：
1/2|PA|•|PB|sin∠APB
=1/2|PM|•|PN|sin∠MPN
∵sin∠APB=sin∠MPN
∴|PA|/|PM|=|PN|/|PB|
∴|x0+1|/|3-x0|=|3-x0|/|x0-1|
即:
(3-x0)²=|x0²-1|
解得：
x0=5/3
∵点P在x2+3y2=4（x≠±1）的图象上
∴x02+3y02=4
∴y0=±√33/9
∴存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等
此时点P的坐标为（5/3,±√33/9）.

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