作业帮无限个收敛级数相加一定收敛吗
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/15 05:22:28
无限个收敛级数相加一定收敛吗
1+∑1/(2^n)+∑1/(3^n)+...+∑1/(n^n)=∑1/n对吗··
1+∑1/(2^n)+∑1/(3^n)+...+∑1/(n^n)=∑1/n对吗··
对,也不对.你似乎把求和指标与参数弄混了……
先定义一个什么是无限个收敛级数相加.首先一个收敛级数总有收敛到一个值吧,所以到头来还是考虑无限个数相加,和是否收敛的问题.
不过我觉得你想问的应该是：如果级数∑a(1,n),∑a(2,n),∑a(3,n),...,∑a(m,n),...都是收敛的级数,那么我定义一个新的级数：b(n) = a(1,n) + a(2,n) + ...+ a(m,n) + ...
那么∑b(n)是否收敛.
请注意以上所有的和号都是对n求和的.你的问题没有明确就在于：在1/n^n中,作为底数的n是一个固定的参数,而作为指数的n是求和的指标.但是你这么一写出来,会以为是这么一个级数：
1 + 1/2^2 + 1/3^3 + ...+ 1/n^n + ...
这和你开始写的等比级数就不是一回事了.虽然它也收敛,但结果是写不出来的.
如果你取的是a(m,n) = 1/n^m（这应该是你的本意?）
那么b(n) = 1/n + (1/n)^2 + ...= 1/(n-1),n > 1时(n = 1时b(n)没有定义）
那么∑b(n)是发散的.
对于正项级数来说,如果∑b(n)收敛,就一定有∑b(n) = ∑a(1,n) + ∑a(2,n)+ ∑a(3,n)+...+ ∑a(m,n)+...
（这暗含了上式右边也是收敛的）但是如果∑b(n)发散,这时上式的右边也必然发散,我们就不去谈它们是否相等的问题.
当然,你要判断的是∑b(n)的收敛性,你既可以计算b(n),也可以计算c(m) = ∑a(m,n),再看∑c(m)是否收敛,但是结果是肯定的：无限个收敛级数相加不一定收敛,在你给出的例子中就不是
再问： 我也觉得有点混乱 但∑1/2^n=1/2+1/4+...+1/2^n+... ∑1/3^n=1/3+1/9+...+1/3^n+... ..................................... ∑1/n^n=1/n+1/n^2+...+1/n^n+... 上式相加再+1不是正好是∑1/n=1+1/2+1/3+...+1/n+...吗··
再答： ∑1/n^n=1/n+1/n^2+...+1/n^n+... 这个写法是错的。如果你是初学“∑”的用法，一定要在和号的上下写清楚对什么求和，从哪里到哪里求和。 正确的写法是： ∑1/n^n=1/1^1+1/2^2+1/3^3+...+1/k^k+...， ∑1/m^n(m为参数) = 1/m^1 + 1/m^2 + 1/m^3+... + 1/m^k + ...此为几何（等比）级数 ∑1/n^m(m为参数) = 1/1^m+1/2^m+ 1/3^m+ ...+1/k^m+...此为黎曼-猜塔函数 因为你是对n求和，所以展开时就要把n用1, 2, 3, ...,k,... 替代 在你这个问题中，你的意思是第二种写法，所以不要写成第一种的样子
先定义一个什么是无限个收敛级数相加.首先一个收敛级数总有收敛到一个值吧,所以到头来还是考虑无限个数相加,和是否收敛的问题.
不过我觉得你想问的应该是：如果级数∑a(1,n),∑a(2,n),∑a(3,n),...,∑a(m,n),...都是收敛的级数,那么我定义一个新的级数：b(n) = a(1,n) + a(2,n) + ...+ a(m,n) + ...
那么∑b(n)是否收敛.
请注意以上所有的和号都是对n求和的.你的问题没有明确就在于：在1/n^n中,作为底数的n是一个固定的参数,而作为指数的n是求和的指标.但是你这么一写出来,会以为是这么一个级数：
1 + 1/2^2 + 1/3^3 + ...+ 1/n^n + ...
这和你开始写的等比级数就不是一回事了.虽然它也收敛,但结果是写不出来的.
如果你取的是a(m,n) = 1/n^m（这应该是你的本意?）
那么b(n) = 1/n + (1/n)^2 + ...= 1/(n-1),n > 1时(n = 1时b(n)没有定义）
那么∑b(n)是发散的.
对于正项级数来说,如果∑b(n)收敛,就一定有∑b(n) = ∑a(1,n) + ∑a(2,n)+ ∑a(3,n)+...+ ∑a(m,n)+...
（这暗含了上式右边也是收敛的）但是如果∑b(n)发散,这时上式的右边也必然发散,我们就不去谈它们是否相等的问题.
当然,你要判断的是∑b(n)的收敛性,你既可以计算b(n),也可以计算c(m) = ∑a(m,n),再看∑c(m)是否收敛,但是结果是肯定的：无限个收敛级数相加不一定收敛,在你给出的例子中就不是
再问： 我也觉得有点混乱 但∑1/2^n=1/2+1/4+...+1/2^n+... ∑1/3^n=1/3+1/9+...+1/3^n+... ..................................... ∑1/n^n=1/n+1/n^2+...+1/n^n+... 上式相加再+1不是正好是∑1/n=1+1/2+1/3+...+1/n+...吗··
再答： ∑1/n^n=1/n+1/n^2+...+1/n^n+... 这个写法是错的。如果你是初学“∑”的用法，一定要在和号的上下写清楚对什么求和，从哪里到哪里求和。 正确的写法是： ∑1/n^n=1/1^1+1/2^2+1/3^3+...+1/k^k+...， ∑1/m^n(m为参数) = 1/m^1 + 1/m^2 + 1/m^3+... + 1/m^k + ...此为几何（等比）级数 ∑1/n^m(m为参数) = 1/1^m+1/2^m+ 1/3^m+ ...+1/k^m+...此为黎曼-猜塔函数 因为你是对n求和，所以展开时就要把n用1, 2, 3, ...,k,... 替代 在你这个问题中，你的意思是第二种写法，所以不要写成第一种的样子