作业帮cot(x)的8次方求不定积分
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/18 02:43:11
cot(x)的8次方求不定积分
不多说,用归约公式：
I_(n) = ∫ cot^n(x) dx = -cot^(n-1)(x) / (n-1) - ∫ cot^(n-2)(x) dx
∴∫ cot^8(x) dx,连续使用归约公式
= (-1/7)cot^7(x) + (1/5)cot^5(x) - (1/3)cot³x + cotx + x + C
归约公式的证明：
∫ cot^n(x) dx
= ∫ cot^(n-2)(x) * cot²x dx
= ∫ cot^(n-2)(x) * (csc²x-1) dx
= ∫ cot^(n-2)(x) * csc²x dx - ∫ cot^(n-2)(x) dx
= -∫ cot^(n-2)(x) d(cotx) - ∫ cot^(n-2)(x) dx
= -cot^[(n-2)+1](x) / [(n-2)+1] - ∫ cot^(n-2)(x) dx
= -cot^(n-1)(x) / (n-1) - ∫ cot^(n-2)(x) dx
再问： 貌似答案不对啊
再答： 标准方法是拆开被积函数： ∫ cot^8(x) dx = ∫ cot^6(x) * cot^2x dx = ∫ cot^6(x) * (csc^2x-1) dx = ∫ cot^6(x) * csc^2x dx - ∫ cot^6x dx = -∫ cot^6(x) d(cotx) - ∫ cot⁴x * cot^2x dx = -(1/7)cot^7(x) - ∫ cot⁴x * (csc^2x-1) dx = -(1/7)cot^7(x) - ∫ cot⁴x * csc^2x + ∫ cot⁴x dx = -(1/7)cot^7(x) + ∫ cot⁴x d(cotx) + ∫ cot^2x * (csc^2x-1) dx = -(1/7)cot^7(x) + (1/5)cot^5(x) + ∫ cot^2x * csc^2x dx - ∫ cot^2x dx = -(1/7)cot^7(x) + (1/5)cot^5(x) - ∫ cot^2x d(cotx) - ∫ (csc^2x-1) dx = -(1/7)cot^7(x) + (1/5)cot^5(x) - (1/3)cot^3x - ∫ csc^2x dx + ∫ dx = -(1/7)cot^7(x) + (1/5)cot^5(x) - (1/3)cot^3x + cotx + x + C
I_(n) = ∫ cot^n(x) dx = -cot^(n-1)(x) / (n-1) - ∫ cot^(n-2)(x) dx
∴∫ cot^8(x) dx,连续使用归约公式
= (-1/7)cot^7(x) + (1/5)cot^5(x) - (1/3)cot³x + cotx + x + C
归约公式的证明：
∫ cot^n(x) dx
= ∫ cot^(n-2)(x) * cot²x dx
= ∫ cot^(n-2)(x) * (csc²x-1) dx
= ∫ cot^(n-2)(x) * csc²x dx - ∫ cot^(n-2)(x) dx
= -∫ cot^(n-2)(x) d(cotx) - ∫ cot^(n-2)(x) dx
= -cot^[(n-2)+1](x) / [(n-2)+1] - ∫ cot^(n-2)(x) dx
= -cot^(n-1)(x) / (n-1) - ∫ cot^(n-2)(x) dx
再问： 貌似答案不对啊
再答： 标准方法是拆开被积函数： ∫ cot^8(x) dx = ∫ cot^6(x) * cot^2x dx = ∫ cot^6(x) * (csc^2x-1) dx = ∫ cot^6(x) * csc^2x dx - ∫ cot^6x dx = -∫ cot^6(x) d(cotx) - ∫ cot⁴x * cot^2x dx = -(1/7)cot^7(x) - ∫ cot⁴x * (csc^2x-1) dx = -(1/7)cot^7(x) - ∫ cot⁴x * csc^2x + ∫ cot⁴x dx = -(1/7)cot^7(x) + ∫ cot⁴x d(cotx) + ∫ cot^2x * (csc^2x-1) dx = -(1/7)cot^7(x) + (1/5)cot^5(x) + ∫ cot^2x * csc^2x dx - ∫ cot^2x dx = -(1/7)cot^7(x) + (1/5)cot^5(x) - ∫ cot^2x d(cotx) - ∫ (csc^2x-1) dx = -(1/7)cot^7(x) + (1/5)cot^5(x) - (1/3)cot^3x - ∫ csc^2x dx + ∫ dx = -(1/7)cot^7(x) + (1/5)cot^5(x) - (1/3)cot^3x + cotx + x + C