求不定积分x^2/(x+2)^3dx 用凑微分法应该如何解

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/08/28 11:40:08

求不定积分x^2/(x+2)^3dx 用凑微分法应该如何解
要求不用有理分式，用第一类换元法（凑微分法）去解题，

令x²/(x+2)³=A/(x+2)+B/(x+2)²+C/(x+2)³
解得A=1,B=-4,C=4
原式=∫dx/(x+2) - 4∫dx/(x+2)² + 4∫dx/(x+2)³
=ln|x+2| + 4/(x+2) - 2/(x+2)² + C
=(4x+6)/(x+2)² + ln|x+2| + C
再问：首先先谢谢你了，不过用第一类换元法（凑微分法）应该如何去解题
再答： ∫x²/(x+2)³ dx =∫x² d[-1/2(x+2)²] =(-1/2)∫x² d[1/(x+2)²] =(-1/2)*x²/(x+2)² + (1/2)∫1/(x+2)² d(x²)，这里运用分部积分法 =(-1/2)*x²/(x+2)² + ∫x/(x+2)² dx =(-1/2)*x²/(x+2)² + ∫(x+2-2)/(x+2)² dx =(-1/2)*x²/(x+2)² + ∫[1/(x+2)-2/(x+2)²] dx =(-1/2)*x²/(x+2)² + ∫d(x+2)/(x+2) - 2∫d(x+2)/(x+2)² =(-1/2)*x²/(x+2)² + ln|x+2| - [-2/(x+2)] + C =-x²/[2(x+2)²] + ln|x+2| + 2/(x+2) + C

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