对1-25这25个号码每次随机抓取（可重复）,n次抓取后,25个号码全部被抓取过的概率是多少?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/08/25 13:04:23

对1-25这25个号码每次随机抓取（可重复）,n次抓取后,25个号码全部被抓取过的概率是多少?
可重复抓取,比如第一次抓了号码3,第二次仍有可能抓到3.概率P可用关于n的表达式表达出来.
自己的解答是这样：我觉得自己原先的计算犯了一个错误,即,n次抓取后全部抓完25个号码,不等于第n次正好抓完25个号码,也就是说,此题应该是第25次、第26次……第n次抓完号码的概率累加.
1、随即抓取的全部可能是25^n种；
2、第m次抓完号码的可能是A[m,25]；
3、则P=Σ（25≤m≤n）A[m,25]/25^n.
不知道这种方法有没有错,如果错,错在哪里

设a1为号码1被抓取的次数,a2是号码2被抓取的次数,……
则a1+a2+……+a25=n.(1)
（a）那么n次抓取,总共可能的抓取组合为是式(1)的非负解的个数.
（b）n次抓取,25个号码均至少被抓过一次,那么总共的组合数就是满足式(1)的{a1≥1,a2≥1,……,a25≥1}的解的总数.
令b1=a1-1,b2=a2-1,……,b25=a25-1,那么
b1+b2+……+b25=n-25.(2)
所以n次抓取,25个号码全部被抓过的组合数就相当于(2)的非负解的个数.
这就好做了,问题(a)的解就是从1~25中有放回的抽取n个元素,总共的抽取方法数C(n+25-1,n).
同样,问题(b)就是从1~25中又放回的抽取n-25个元素的总抽取方法数C(n-1,n-25).
答案应该是
当n
再问：感谢回答，不过，n次抓取总共抓取的可能不应该是25^n（25的n次方）种吗？哎，离开学校很久了，很多知识已经完全不理解了。也请看一下我的补充问题里，自己的解答，不知道有没有错在哪里
再答：如果要考虑球的抽取顺序，那么应该是25^n。但若不计球的抽取顺序，则应该是C(n+24,n)种。上面的解法是在不考虑球的抽取顺序下计算的（当然这种计算方法也比较好计算），所以分母部分也应该是用不计抽取顺序的方法算出来的。

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