这道题是第六大题的第2个,但是要求的方法是球面坐标的方法,不能使用柱面坐标计算的方式.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/09 03:01:48

分析：
要使用球面坐标,难点是确定φ的积分限,需要找到一个圆锥面.两个球面的交线方程整理后是z=R/2,x^2+y^2=3R^2/4,以此曲线围成的圆为底面,顶点为坐标原点,z轴为对称轴的圆锥面的顶角的一半是π/3,所以圆锥面的球面坐标方程是φ=π/3.
这个圆锥面把整个区域分为上下两部分,其中φ的范围分别是0到/3,与π/3到π/2.自己作图看看.

解题过程是：
∫∫∫z^2dxdydz=∫(0到2π) dθ ∫(0到π/3) dφ ∫(0到R) (rcosφ)2×r^2sinφ dr＋∫(0到2π) dθ ∫(π/3到π/2) dφ ∫(0到2Rcosφ) (rcosφ)2×r^2sinφ dr=59πR^5/480.

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附带说一句,如果不限定方法,这个题目用直角坐标做是最简单的,选择先对x,y再对z积分的顺序.
∫∫∫z^2dxdydz=∫(0到R/2) z^2dz ∫∫(D1) dxdy＋∫(R/2到R) z^2dz ∫∫(D2) dxdy,其中D1:x^2+y^2≤2Rz-z^2,D2:x^2+y^2≤R^2-z^2.
=∫(0到R/2) z^2×π×(2Rz-z^2) dz＋∫(R/2到R) z^2×π×(R^2-z^2) dz
=59πR^5/480
再问：对啊，我使用的就是用你的第二种方法做的。。但是我还是有一点不太明白，为什么那个φ的范围是从0到π/3呢？？π/3这个值从哪里得出来的呢？
再答：看分析过程。
再问：而且你的第一个式子中的第二部分，r的积分区域怎么会是0到2Rcosφ呢？
再答：画个图形看看，整个区域的上面是第一个球面，球心在原点。下面是第二个球面，球心在z轴上。利用两个球面的交线找到一个圆锥面分割整个区域，理由就是：球面坐标系里面φ=常数表示的是圆锥面。当然实际做题时这个圆锥面没有必要写出来，只要找出φ的范围即可。
再问：哦哦哦，对对！！谢谢大神！请问你是研究生还是老师啊？

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