作业帮复变函数的问题要详细的A,B,C,D解释
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/27 21:30:12
复变函数的问题
要详细的A,B,C,D解释
设z=x+yi,则Rez=x,Rez²=x²-y²,|z|=√(x²+y²)
看在原点是否连续,只需考虑z->0时,f(z)极限是否为0
A,f(z)=x/(1+√(x²+y²)),z->0,则x->0,∴f(z)->0 ∴连续
B,f(z)=x²/√(x²+y²),∵-1≤x/√(x²+y²)≤1,∴x->0时有x·x/√(x²+y²)->0 ∴连续
C,f(z)=(x²-y²)/(x²+y²),当z沿着(x,kx)->0时,f(z)->(1-k²)/(1+k²)≠0 ∴不连续
D,f(z)=(x²-y²)²/(x²+y²),∵-1≤(x²-y²)/(x²+y²)≤1,而z->0时有x²-y²->0
∴(x²-y²)·(x²-y²)/(x²+y²)->0 ∴连续
∴选 C
再问： -1≤x/√(x²+y²)≤1 -1≤(x²-y²)/(x²+y²)≤1如何判断的？
再答： x²≤x²+y² => x²/(x²+y²)≤1 =>|x/√(x²+y²)|≤1 =>-1≤x/√(x²+y²)≤1 -x²-y²≤x²-y²≤x²+y² =>-1≤(x²-y²)/(x²+y²)≤1
看在原点是否连续,只需考虑z->0时,f(z)极限是否为0
A,f(z)=x/(1+√(x²+y²)),z->0,则x->0,∴f(z)->0 ∴连续
B,f(z)=x²/√(x²+y²),∵-1≤x/√(x²+y²)≤1,∴x->0时有x·x/√(x²+y²)->0 ∴连续
C,f(z)=(x²-y²)/(x²+y²),当z沿着(x,kx)->0时,f(z)->(1-k²)/(1+k²)≠0 ∴不连续
D,f(z)=(x²-y²)²/(x²+y²),∵-1≤(x²-y²)/(x²+y²)≤1,而z->0时有x²-y²->0
∴(x²-y²)·(x²-y²)/(x²+y²)->0 ∴连续
∴选 C
再问： -1≤x/√(x²+y²)≤1 -1≤(x²-y²)/(x²+y²)≤1如何判断的？
再答： x²≤x²+y² => x²/(x²+y²)≤1 =>|x/√(x²+y²)|≤1 =>-1≤x/√(x²+y²)≤1 -x²-y²≤x²-y²≤x²+y² =>-1≤(x²-y²)/(x²+y²)≤1
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