设f(x)=2^x - x^2,证明f(x)=0在(-3,3)内至少有两个实根
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/07 02:45:18
设f(x)=2^x - x^2,证明f(x)=0在(-3,3)内至少有两个实根
方法一:一元三次方程一定有实根,f(x)=x^3-3x+c在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f'(x)=3x^2-3,当0<x<1时,f'(x)<0,单调减少,所以f(x)=x^3-3x+c在(0,1)内至多有一个零点,所以方程x^3-3x+c=0在区间(0,1)内不可能有两个不同的实根
方法二:反证法
设方程x^3-3x+c=0在区间(0,1)内有两个不同的实根x1,x2,假设x1<x2,则f(x)=x^3-3x+c在[x1,x2]上连续,在(x1,x2)内可导,f(x1)=f(x2),由罗尔中值定理,f'(x)在(x1,x2)内有零点.但是f'(x)=3x^2-3,在(x1,x2)内,f'(x)<0.矛盾.
所以方程x^3-3x+c=0在区间(0,1)内不可能有两个不同的实根
再问: 不是这题
方法二:反证法
设方程x^3-3x+c=0在区间(0,1)内有两个不同的实根x1,x2,假设x1<x2,则f(x)=x^3-3x+c在[x1,x2]上连续,在(x1,x2)内可导,f(x1)=f(x2),由罗尔中值定理,f'(x)在(x1,x2)内有零点.但是f'(x)=3x^2-3,在(x1,x2)内,f'(x)<0.矛盾.
所以方程x^3-3x+c=0在区间(0,1)内不可能有两个不同的实根
再问: 不是这题
设f(x)=x^5+2x^4+3x^3+4x²+5x+6,证明f(x)=0至少有一实根
设f(x),g(x)均可导,证明在f(x)的任意两个零点之间,必有f'(x)+g'(x)f(x)=0的实根
设f(x)在[1,e]上可导,且f(e)=1,证明方程xf'(x)-1=0在(1,e)内至少有一实根
1.试证方程 f(x)=x.2x-1 至少有一个小于1的实根 2.设x>0 ,证明 x/(1+x)
证明方程x^3-3x=1在(1,2)内至少有一个实根
设函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3);则方程f(x)的导数等于0在区间(0,3)内有几个实根?
设f(x)在R内有定义,证明:φ(x)=(f(x)+f(-x))/2是偶函数
证明方程x^3-6x+2=0在区间(2,3)内至少有一个实根.
证明方程x^3-4x^2+1=0在区间(0,1)内至少有一个实根
设f(X)在(-∞,+∞)上存在二阶导数,且f(0)0,证明f(X)至少一个实根至多两个实根.
设函数f(x)在(-∞,+∞)上可导,且a,b是f(x)=0的两个实根.证明:方程f(x)+f'(x)=0在(a,b)内
7.设f(x)在[0,2a] 上连续,f(0)=f(2a) ,证明方程f(x)=f(x+a) 在(0,a) 内至少有一个