数学归纳法的整除问题详细怎么算
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/31 16:15:21
数学归纳法的整除问题
详细怎么算
详细怎么算
用数学归纳法证明整除问题时,由到时,首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除,这是数学归纳法证明问题的一大技巧.
例1、是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)•3n+9对任意自然数n都能被m整除?若存在,求出最大的m值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
证明:由f(n)=(2n+7)•3n+9,得f(1)=36,f(2)=3×36,f(3)=10×36,f(4)=34×36,由此猜想m=36.
下面用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,显然成立.
(2)假设n=k时,f(k)能被36整除,即f(k)=(2k+7)•3k+9能被36整除;当n=k+1时,〔2(k+1)+7〕•3k+1+9=3〔(2k+7)•3k+9〕+18(3k--1-1),
由于3k-1-1是2的倍数,故18(3k-1-1)能被36整除.这就是说,当n=k+1时,f(n)也能被36整除.
由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)=(2n+7)•3n+9能被36整除,m的最大值为36.
二、用数学归纳法证明恒等式问题
对于证明恒等的问题,在由证等式也成立时,应及时把结论和推导过程对比,也就是我们通常所说的两边凑的方法,以减小计算的复杂程度,从而发现所要证明的式子,使问题的证明有目的性.
例1、是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)•3n+9对任意自然数n都能被m整除?若存在,求出最大的m值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
证明:由f(n)=(2n+7)•3n+9,得f(1)=36,f(2)=3×36,f(3)=10×36,f(4)=34×36,由此猜想m=36.
下面用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,显然成立.
(2)假设n=k时,f(k)能被36整除,即f(k)=(2k+7)•3k+9能被36整除;当n=k+1时,〔2(k+1)+7〕•3k+1+9=3〔(2k+7)•3k+9〕+18(3k--1-1),
由于3k-1-1是2的倍数,故18(3k-1-1)能被36整除.这就是说,当n=k+1时,f(n)也能被36整除.
由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)=(2n+7)•3n+9能被36整除,m的最大值为36.
二、用数学归纳法证明恒等式问题
对于证明恒等的问题,在由证等式也成立时,应及时把结论和推导过程对比,也就是我们通常所说的两边凑的方法,以减小计算的复杂程度,从而发现所要证明的式子,使问题的证明有目的性.