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点p是边长为1的正方形ABCD对角线AC上的一个动点 （p与A、C不重合）点E在射线BC上 且PE=PB ,PE垂直PD

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/08/28 04:42:21
点p是边长为1的正方形ABCD对角线AC上的一个动点 （p与A、C不重合）点E在射线BC上 且PE=PB ,PE垂直PD,三角形ApD全等于三角形APB
求（1）设AP为X,三角形ABP的面积为Y,①求出Y关于X的函数关系,并写出X的取值范围.②当X为何值时,Y的值 最大 并求出这个最大值
1、（1）证法一：
① ∵ 四边形ABCD是正方形,AC为对角线,
∴ BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°.
∵ PC=PC,
∴ △PBC≌△PDC （SAS）.
∴ PB= PD, ∠PBC=∠PDC．
又∵ PB= PE ,
∴ PE=PD．
② （i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时,
∵ PB=PE,
∴ ∠PBE=∠PEB,
∴ ∠PEB=∠PDC,
∴ ∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°,
∴ ∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°,
∴ PE⊥PD．
（ii）当点E与点C重合时,点P恰好在AC中点处,此时,PE⊥PD.
（iii）当点E在BC的延长线上时,如图.
∵ ∠PEC=∠PDC,∠1=∠2,
∴ ∠DPE=∠DCE=90°,
∴ PE⊥PD.
综合（i）（ii）（iii）, PE⊥PD
（2）① 过点P作PF⊥BC,垂足为F,则BF=FE.
∵ AP=x,AC=,
∴ PC=- x,PF=FC=.
BF=FE=1-FC=1-()=.
∴ S△PBE=BF・PF=().
即 (0＜x＜).
② .
∵ ＜0,
∴ 当时,y最大值.
（1）证法二：① 过点P作GF‖AB,分别交AD、BC于G、F. 如图所示.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形,
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.
∴ GD=FC=FP,GP=AG=BF,∠PGD=∠PFE=90°.
又∵ PB=PE,
∴ BF=FE,
∴ GP=FE,
∴ △EFP≌△PGD （SAS）.
∴ PE=PD．
② ∴ ∠1=∠2.
∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°.
∴ ∠DPE=90°.
∴ PE⊥PD．
（2）①∵ AP=x,
∴ BF=PG=,PF=1-.
∴ S△PBE=BF・PF=().
即 (0＜x＜).
② .
∵ ＜0,
∴ 当时,y最大值.
已经知边长为1的正方形ABCD中,P是对角线AC上的一个动点（与点A,C不重合）,点E在射线BC上,且PE=PB.1.求 已知边长为1的正方形ABCD中,P是对角线AC上的一个动点（与点A,C不重合）,过点p作PE垂直于PB,PE交射线DC于 已知边长为1的正方形ABCD中,P是对角线AC上的一个动点（与点A,C不重合）,过点p作PE垂直于PB,PE交射线DC 如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB． 如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在射线BC上,且PE=PB.(1)求证： 如图,p是边长为1的正方形abcd对角线ac上一动点（p与a、c不重合）,点e在射线bc上,且pe 已知边长为1的正方形ABCD中,P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合）,过点P作PE垂直于PB, 正方形ABCD对角线AC上点P,E为BC上点,且PB=PE,求证PE垂直PD 已知边长为1的正方形ABCD中,P是对角线AC上的一个动点（与点A,C不重合）,过点p作PE垂直于P 已知边长为1的正方形ABCD中,P是对角线AC上的一个动点（与点A,C不重合）,过点p作PE⊥P 如图,点P是边长为1的正方形ABCD的对角线AC上一点,点E在边BC上,且PE=PB.求证: 已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合),PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F.