第二类曲线积分的对称性的疑问,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/17 20:34:08

第二类曲线积分的对称性的疑问,
假设曲线关于Y轴对称,∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy
假设P关于x为奇函数,则∫P(x,y)dx=0,Q关于x为偶函数,则∫Q(x,y)dy =0,
但是我想请问为什么“P关于x为奇函数,则∫P(x,y)dx=0”
李永乐的书上证明了“Q关于x为偶函数,则∫Q(x,y)dy =0”证明过程见图片(注意红框里的积分范围)
但是这个证明过程中的Q直接换成P的话会得到与“P关于x为奇函数,则∫P(x,y)dx=0”相矛盾的证明过程,所以请问这个证明中的Q为什么不能直接换成P呢?
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在“P关于x为奇函数,则∫P(x,y)dx=0”这句话里,P(x,y)是对dx积分.
而在“Q关于x为偶函数,则∫Q(x,y)dy =0”这句话里Q(x,y)是对dy积分.
如果你将Q(x,y)换成P(x,y),则必须将对称关系从x换成y.你可说：“Q关于y为奇函数,则∫Q(x,y)dy=0；P关于y为偶函数,则∫P(x,y)dx =0”.换句话说,如果被积函数在一个给定的积分域内,是关于某个轴的奇函数,则在这个轴上积分时,积分结果为零.即,若P关于x为奇函数,则∫P(x,y)dx=0；若Q关于y为奇函数,则∫Q(x,y)dy=0.可是,如果Q(x,y)是对dy积分,但Q(x,y)是对x轴有对称性,则可证明当Q(x,y)是关于x为偶函数时,有∫Q(x,y)dy =0.同理,若P(x,y)是对dx积分,但是对y轴呈对称性,则可证明,当P(x,y)是关于y的偶函数时,则∫P(x,y)dx=0.说了这么多,但愿没把你弄糊涂.
(参与101)

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