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f(x)=1/3x³+ax²+bx,其中a,b∈R,已知f(x)在区间(1,2)内存在两个极值点,求

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/14 02:23:49
f(x)=1/3x³+ax²+bx,其中a,b∈R,已知f(x)在区间(1,2)内存在两个极值点,求证:0
证明:对函数求导可得,f′(x)=x²+2ax+b,
因为f(x)在区间(1,2)内存在两个极值点,所以f′(x)=0,即x²+2ax+b=0在(1,2)内有两个不等的实根.
∴f′(1)=1+2a+b>0,(1)
f′(2)=4+4a+b>0, (2)
1<-a<2,(3)
△=4(a²-b)>0. (4)
由 (1)+(3)得a+b>0,由(4)得a+b<a²+a,
∴-2<a<-1,又a²+a=(a+1/2)²-1/4<2,
∴a+b<2.
故a+b的取值范围是(0,2)

望采纳,若不懂,请追问.
再问: f′(1)和f′(2)为什么会>0,还有1<-a<2是怎么的出来的?我脑子笨,对导数这一方面不是不很懂。。。求详解
再答: 这个其实不算是全考导数,考二次函数图像的性质还多些,因为想要导函数是开口向上的二次函数,且开口向上,所以要满足这几个条件,式子(1)、(2)意思是在x=1,2时导函数的值在x轴的上方,式子(3)指的是对称轴要在区间(1,2)之间,式子(4)指的是其图像要与x轴有两个交点,你画画图,只要具备了这几个条件,那么就可以确定f(x)在区间(1,2)内存在两个极值点了。 别认为自己笨,数学需要扎实的基础,再加上明确的思路和方法,而这一切都需要自己多记多总结,在巩固一下就会慢慢变好的。。加油哦!