基本不等式求最值时,为什么要一正,二定,三相等.特别是二定.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/26 22:36:38
基本不等式求最值时,为什么要一正,二定,三相等.特别是二定.
一正:必须保证使用基本不等式时各字母(或式子)的值是正的,否则不能使用公式;
二定:相加(求最大值时)或相乘(求最小值时)必须有一个定值,即要保证基本不等式的一边是定值,这样才能使用基本不等式求最值;
三相等:只有各字母(或式子)相等时,基本不等式才能取等号,才能取到最值.
不知对你有否帮助?
再问: 不是说a的平方+b的平方是永远大于2ab的么?为什么还要a和b相等的时候,或者a乘b为定值时才可以用基本不等式?
再答: 基本不等式 任何时候都成立,但在求最大值或最小值时,是一定要考虑取等号和定值的情况的,如: (1)利用a²+b²≥2ab 求a²+b²的最小值,如果ab是的变化的数(变量),就不能说2ab是它的最小值(因为最小值是一个具体的数,一般不是变量),只有当ab是常数(定值)时,a²+b²的最小值才是一个确定的量。比如, ab=4(常数),则a²+b²≥2ab=8,所以a²+b²的最小值为8。 (2)基本不等式 a²+b²≥2ab 中能取“=”是求最值的关键。如 已知a,b为正数且a+b=1,求a²+b²的最小值。采用下面的解法就是错误的。 由基本不等式,得 a²+1≥2a (1) (注:当且仅当a=1时取等号) b²+1≥2b (2) (注:当且仅当b=1时取等号) 两式相加,得a²+b²+2≥2(a+b) a²+b²+2≥2 a²+b²≥0 所以a²+b²的最小值为0. 这显然是错误的,关键原因是不等式(1)和(2)不能同时取等号。
二定:相加(求最大值时)或相乘(求最小值时)必须有一个定值,即要保证基本不等式的一边是定值,这样才能使用基本不等式求最值;
三相等:只有各字母(或式子)相等时,基本不等式才能取等号,才能取到最值.
不知对你有否帮助?
再问: 不是说a的平方+b的平方是永远大于2ab的么?为什么还要a和b相等的时候,或者a乘b为定值时才可以用基本不等式?
再答: 基本不等式 任何时候都成立,但在求最大值或最小值时,是一定要考虑取等号和定值的情况的,如: (1)利用a²+b²≥2ab 求a²+b²的最小值,如果ab是的变化的数(变量),就不能说2ab是它的最小值(因为最小值是一个具体的数,一般不是变量),只有当ab是常数(定值)时,a²+b²的最小值才是一个确定的量。比如, ab=4(常数),则a²+b²≥2ab=8,所以a²+b²的最小值为8。 (2)基本不等式 a²+b²≥2ab 中能取“=”是求最值的关键。如 已知a,b为正数且a+b=1,求a²+b²的最小值。采用下面的解法就是错误的。 由基本不等式,得 a²+1≥2a (1) (注:当且仅当a=1时取等号) b²+1≥2b (2) (注:当且仅当b=1时取等号) 两式相加,得a²+b²+2≥2(a+b) a²+b²+2≥2 a²+b²≥0 所以a²+b²的最小值为0. 这显然是错误的,关键原因是不等式(1)和(2)不能同时取等号。