给定m*n矩阵A,求证N(A^T A)=N(A)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/04 17:37:45
给定m*n矩阵A,求证N(A^T A)=N(A)
请用以下章节知识解答(应为我们只学了这么多。。。)
矩阵和线性方程,行列式,向量空间,线性转换,向量正交性。
此题目出自正交向量。
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矩阵和线性方程,行列式,向量空间,线性转换,向量正交性。
此题目出自正交向量。
一方面:
若x为线性方程组Ax=0的解,那么x也必定是A^T A的解,A^T Ax=A^T(Ax)=A^T0=0,得到Ax=0的解空间属于A^T Ax=0的.
另一方面:
若x为线性方程组A^T Ax=0的解,那么0=x^T0=x^TA^T Ax=(Ax)^T(Ax)=||Ax||^2 所以Ax=0
如果看不懂范数,你可以令Ax=b b是列向量,所以0=x^TA^T Ax=b^Tb=(b,b) b和b的内积=0 b=0
所以A^T Ax=0的解空间又属于Ax=0的.
所以两个解空间相同,所以维数也相同,n-rankN(A^T A)=n-N(A) ,就是N(A^T A)=N(A).
若x为线性方程组Ax=0的解,那么x也必定是A^T A的解,A^T Ax=A^T(Ax)=A^T0=0,得到Ax=0的解空间属于A^T Ax=0的.
另一方面:
若x为线性方程组A^T Ax=0的解,那么0=x^T0=x^TA^T Ax=(Ax)^T(Ax)=||Ax||^2 所以Ax=0
如果看不懂范数,你可以令Ax=b b是列向量,所以0=x^TA^T Ax=b^Tb=(b,b) b和b的内积=0 b=0
所以A^T Ax=0的解空间又属于Ax=0的.
所以两个解空间相同,所以维数也相同,n-rankN(A^T A)=n-N(A) ,就是N(A^T A)=N(A).
设A是m*n的实矩阵,且rank(A)=n,证明A^T A是正定矩阵
设A为m×n实矩阵,证明r(A^T A)=r(A)
设A为n阶矩阵,若已知|A|=m,求|2|A|A^t|,
设A是n阶矩阵,求证A+A^T为对称矩阵.
A是n阶矩阵,a是向量,求证det(aA)=a^n×det(A)
求证:(1)A(n+1,n+1)-A(n,n)=n^2A(n-1,n-1); (2)C(m,n+1)=C(m-1,n)+
A是m*n矩阵,B是n*m矩阵,m>n,证明:|AB|=0
设A是m*n矩阵,m>n,证明|AA^T|=0
求证!A为n*m实矩阵,证A^TA为m阶正定矩阵
设A,B分别为m*n,n*t矩阵,求证:若r(A)=n.则r(AB)=r(B) 若r(B)=n,则r(AB)=r(A)
设A为m*n矩阵,B为n*s矩阵,若AB=O,求证:r(A)+r(B)≤n
证明:对任意的m*n矩阵A,A^T*A和A*A^T都是对称矩阵