三角形内求求最大内接正方形面积的思路!

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/13 23:13:42

三角形内求求最大内接正方形面积的思路!

思路：假设△ABC是已知三角形,如果内接正方形EFGH有两顶点E、F在BC上,
       此时设BC=a,AC=b,AB=c,BC边上的高AD=h1,设正方形EFGH的边长是x,
    （又假设AC、AB边上的高分别为h2、h3）
     1）并且设△ABC是任意锐角三角形,并且a＞b＞c
     由△ABC∽△AHG,所以高的比等于相似比
     即：x/a=(h1-x)/h1,所以内接正方形边长x=ah1/（a+h1）
      如果有两顶点在AB、AC边上时也同样可以得：边长为：bh2/（b+h2）,ch3/（c+h3）
      要使内接正方形面积最大,则边长应最大,
     下面比较ah1/（a+h1）、bh2/（b+h2）,ch3/（c+h3）的大小即可
     因为△ABC的面积S=ah1/2=bh2/2=ch3/2,即   ah1=bh2=ch3
     所以分子相同,分母越小,分数越大
     比较a+h1、b+h2、c+h3
     由（a+h1）-（b+h2）=（a-b）+（h1-h2）=（a-b）+（2S/a-2s/b）
          =（a-b）+2S（1/a-1/b）=（a-b）（1-2S/ab）
         =（a-b）（ab-2s）/ab                                  （S是△ABC的面积）
     由垂线段最短,知b大于高h1,即ab＞ah1,而ah1=2S,
     所以（a-b）（ab-2s）/ab   ＞0
     所以       a+h1＞b+h2   ,即如果内接正方形有两个顶点在BC边上时,
     边长较小,面积也较小
     同理,如果有两顶点在AC边上时其面积比两点在AB边上小
因此得结论：当内接正方形有两个顶点在最小边上时,其面积最大
    此时内接正方形的边长是：ch3/（c+h3）      （设最小边是c,这边上的高是h3）
    面积就是其平方了.
2）直角三角形其内接正方形面积最大应为一顶点与直角顶点重合,三边上各有一顶点.
    其边长为：两直角边之积/两直角边之和  .
3）类似方法讨论,任意钝角三角形,内接正方形的两个顶点在钝角所对的边上时面积最大,
    其边长为：最大边与这边上的高的积/最大边与这边上高的和

再问：谢谢，做出来了

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