如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1D是棱C C1上的一点,P是AD的延长线
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/23 16:40:43
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1D是棱C C1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱C C1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA1
(Ⅰ)求证:CD=C1D;
(Ⅱ)求点C到平面B1DP的距离
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/bc/abcffccfc0addccde0ece897bded46c0.jpg)
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱C C1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA1
(Ⅰ)求证:CD=C1D;
(Ⅱ)求点C到平面B1DP的距离
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/bc/abcffccfc0addccde0ece897bded46c0.jpg)
(I)由题意作出如下图形并建立图示的空间直角坐标系:
以A1点为原点,A1B1,A1C1,A1A所在的直线分别为x,y,z轴,
建立图示的空间直角坐标系,则A1(0,0,0)B1(1,0,0)C1(0,1,0)B(1,0,1)
(I)设C1D=,∵AC∥PC1
∴ C1PAC=C1DCD=x1-x
可设D(0,1,x) ,则P(0,1+x1-x,0),
∴ A1B→=(1,0,1)A1D→=(0,1,x),B1P→=(-1,1+x1-x,0) 设平面BA1D的一个法向量为 n→=(a,b,c),
则 {n→•A1B→=0n→•A1D→=0⇒ {a+c=0b+cx=0 令a=1,则 n→=(1,x,-1)∵PB1∥平面BA1D
∴ n•→B1P→=1×(-1)+x•(1+x1-x)+(-1)×0=0⇒x= 12;
故CD=C1D.
(II)由(I)知,平面BA1D的一个法向量为 n→=(1,12,-1)
又 m→=(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量,∴cos< n→,m→>=n→•m→|n→|•|m|→=23.
故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为 23.
(III)∵ PB1→=(1,-2,0),PD→=(0,-1,12)
设平面B1DP的一个法向量为 p→=(x,y,z),
则 {p→•PB1→=0p→•PD→=0⇒ {x-2y=0-y+z2=0
令z=1,∴ p→=(1,12,1)
又 DC→=(0,0,12)∴C到平面B1PD的距离d= |DC→•p→||p→|=13.
以A1点为原点,A1B1,A1C1,A1A所在的直线分别为x,y,z轴,
建立图示的空间直角坐标系,则A1(0,0,0)B1(1,0,0)C1(0,1,0)B(1,0,1)
(I)设C1D=,∵AC∥PC1
∴ C1PAC=C1DCD=x1-x
可设D(0,1,x) ,则P(0,1+x1-x,0),
∴ A1B→=(1,0,1)A1D→=(0,1,x),B1P→=(-1,1+x1-x,0) 设平面BA1D的一个法向量为 n→=(a,b,c),
则 {n→•A1B→=0n→•A1D→=0⇒ {a+c=0b+cx=0 令a=1,则 n→=(1,x,-1)∵PB1∥平面BA1D
∴ n•→B1P→=1×(-1)+x•(1+x1-x)+(-1)×0=0⇒x= 12;
故CD=C1D.
(II)由(I)知,平面BA1D的一个法向量为 n→=(1,12,-1)
又 m→=(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量,∴cos< n→,m→>=n→•m→|n→|•|m|→=23.
故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为 23.
(III)∵ PB1→=(1,-2,0),PD→=(0,-1,12)
设平面B1DP的一个法向量为 p→=(x,y,z),
则 {p→•PB1→=0p→•PD→=0⇒ {x-2y=0-y+z2=0
令z=1,∴ p→=(1,12,1)
又 DC→=(0,0,12)∴C到平面B1PD的距离d= |DC→•p→||p→|=13.
如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,延长A1C1至点P,
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,E是BC中点.(II)若棱AA1上存在
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点
如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=2,AB=AC=1,∠BAC=900,点M是BC的中点,点N在侧棱CC1
(2012海南数学)如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=BC=1/2AA1,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1=AC=BC,∠ACB=90°,P是AA1的中点,Q是AB的中点.
如图,直三棱柱ABC–A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点(1)证明BC1//平面A1CD(2)设AA1=AC
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ABC=90度,AB=BC=AA1=2,D是AB的中点.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=4,∠BAC=90°,D为B1C1的中点,求异面直线AB1与C
如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,E是棱CC1上的动点,F是AB的中点,AC=BC=2,AA1
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=2,D 是A1B1中点.
【急】高中立体几何----如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,E是BC中点