如图1，△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC．CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，交BI延长线于E，连接C

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/06 03:40:05

如图1，△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC．CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，交BI延长线于E，连接CI．

（1）△ABC变化时，设∠BAC=2α．若用α表示∠BIC和∠E，那么∠BIC=______，∠E=______；
（2）若AB=1，且△ABC与△ICE相似，求相应AC长；
（3）如图2，延长AI交EC延长线于F．当△ABC形状、大小变化时，图中有哪些三角形始终与△ABI相似？写出这些三角形，并选其中之一证明．

（1）90°+α，α．

（2））△ABC与△ICE相似，根据题意知∠ICE=90°，所以本题分三种情况：
①若∠BAC=90°，如图1，易证∠EIC=45°，则△ABC为等腰直角三角形，∴AC=AB=1．

②∠ABC=90°，如图2，推出∠E=
1
2∠BAC，∴△ABC∽△ICE，∴∠ACB=∠E=
1
2∠BAC，∴∠BAC=60°，∠ACB=30°，AC=2AB=2．

③∠ACB=90°，如图3，同2，推出Rt△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=30°，AC=
1
2AB=
1
2．
（3）写出：△EIF，△ECB，△ACF．
证明其中一个三角形与△AIB相似．如：△EIF∽△AIB．
证明：∵CE平分∠ACD，∴∠ECD=∠ACE=∠BCF=
1
2∠ACD．
同理可得出∠BAI=∠IAC=
1
2∠BAC，∠ABE=∠IBC=
1
2∠ABC．
∵∠ACD=∠BAC+∠ABC，
∴∠BCF=∠ECD=∠BAI+∠ABI=∠BIF，
∴∠ECB=∠EIF；
∵∠BEC=∠IEF，
∴△IEF∽△BCE；
∴∠EBC=∠F=∠ABI．
又∵∠BAI=∠IEF，
∴△BIA∽△FIE．