证明钝角三角形ABC,垂心H,满足tanAHA+tanBHB+tanCHC=0,HA,HB,HC与0都是向量

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 19:50:55

证明：
不放设△ABC中,∠A是钝角,H是垂心,
容易知道H在△ABC外,（详见附图）,
连接HA,并延长交BC于D,连接HB,交CA延长线于F,连接HC,交BA延长线于E,则D、E、F都是三边的垂足
tanB=CE/BE,tanC=BE/CE,
∴tanB/(-tanA)
=tanB/tan∠CAE
=(CE/BE)/(CE/AE)
=AE/BE
同理,
tanC/(-tanA)
=tanB/tan∠BAF
=(BF/CF)/(BF/AF)
=AF/CF
过A作AM‖HC,交HB于M,过A作AN‖HB,交HC于N,则
四边形AMHN是平行四边形
∴向量HA=向量HM+向量HN
∴向量HB*tanB/(-tanA)+向量HC*tanC/(-tanA)
=向量HB*(AE/BE)+向量HC*(AF/CF)
=向量HB*(MH/BH)+向量HC*(NH/CH)
=向量HM+向量HN
=向量HA
∴向量HB*tanB+向量HC*tanC=向量HA*(-tanA)
∴向量HA*tanA+向量HB*tanB+向量HC*tanC=向量0
得证
祝愉快!
为方便理解,请参看附图：

一道向量.一道向量.三角形ABC的垂心为H,求证 HA·HB = HB·HC = HC·HA三角形的内心,外心,垂心,中证明：若a+Ha=b+Hb=c+Hc,则三角形ABC是正三角形证明,若a+ha=b+hb=c+hc,则三角形ABC为正三角形. 锐角三角形ABC,abc边上高分别为ha.hb,hc, 在三角形ABC中,记三边长为a,b,c.对应边上的高为ha,hb.hc.已知ha:hb:hc=2:x:4 △ABC三条高分别为ha.hb.hc,r为内切圆半径,且ha+hb+hc=9r求证:该三角形为等边三角形已知等边△ABC和点P,P到△ABC三边bc、ab、ac距离为ha,hb,hc,△ABC高h,若P在BC上,求证hb=h 设ha,hb,hc,分别是三角形abc的三边BC,CA,AB上的高,且满足3hc方=hahb,则角C的取值范围是三角形ABC中三边a=3 b=4 c=6 ha hb hc 分别为BC AC AB的高求（ha+hb+hc)(ha分之一在三角形ABC中,三边长中a=3,b=4,c=6.h(a)表示a边上的高.h(b),h(c)类似,求（ha+hb+hc) 初二平行四边形证明已知,如图,BE和CF是△ABC的高线,BE=CF,H是CF、BE的交点.求证：HB=HC 设△ABC的三边为a，b，c，三边上的高分别为ha，hb，hc，若三边满足2b=a+c，则三个高应满足（　　）