(2013 宁夏)(10分)在平行四边形ABCD中,P是AB边上的任意一点,过P点作PE⊥AB,交AD于E,连结CE,C
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/15 00:29:30
(2013 宁夏)(10分)在平行四边形ABCD中,P是AB边上的任意一点,过P点作PE⊥AB,交AD于E,连结CE,CP.已知∠A=60°; (1)若BC=8,AB=6,当AP的长为多少时,△CPE的面积最大,并求出面积的最大值. (2)试探究当△CPE≌△CPB时,平行四边形ABCD的两边AB与BC应满足什么关系?第二小问可以用初二方法做吗?
(1)延长PE交CD的延长线于F,
设AP=x,△CPE的面积为y,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=DC=6,AD=BC=8,
∵Rt△APE,∠A=60°,
∴∠PEA=30°,
∴AE=2x,PE=x,
在Rt△DEF中,∠DEF=∠PEA=30°,DE=AD﹣AE=8﹣2x,
∴DF=DE=4﹣x,
∵AB∥CD,PF⊥AB,
∴PF⊥CD,
∴S△CPE=PE•CF,
即y=×x×(10﹣x)=﹣x2+5x,
配方得:y=﹣(x﹣5)2+,
当x=5时,y有最大值,
即AP的长为5时,△CPE的面积最大,最大面积是;
(2)当△CPE≌△CPB时,有BC=CE,∠B=∠PEC=120°,
∴∠CED=180°﹣∠AEP﹣∠PEC=30°,
∵∠ADC=120°,
∴∠ECD=∠CED=180°﹣120°﹣30°=30°,
∴DE=CD,即△EDC是等腰三角形,
过D作DM⊥CE于M,则CM=CE,
在Rt△CMD中,∠ECD=30°,
∴cos30°==,
∴CM=CD,
∴CE=CD,
∵BC=CE,AB=CD,
∴BC=AB,
则当△CPE≌△CPB时,BC与AB满足的关系为BC=AB.
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/cc/2cc6f98dab46b6c4250360c1c76ec1a5.jpg)
设AP=x,△CPE的面积为y,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=DC=6,AD=BC=8,
∵Rt△APE,∠A=60°,
∴∠PEA=30°,
∴AE=2x,PE=x,
在Rt△DEF中,∠DEF=∠PEA=30°,DE=AD﹣AE=8﹣2x,
∴DF=DE=4﹣x,
∵AB∥CD,PF⊥AB,
∴PF⊥CD,
∴S△CPE=PE•CF,
即y=×x×(10﹣x)=﹣x2+5x,
配方得:y=﹣(x﹣5)2+,
当x=5时,y有最大值,
即AP的长为5时,△CPE的面积最大,最大面积是;
(2)当△CPE≌△CPB时,有BC=CE,∠B=∠PEC=120°,
∴∠CED=180°﹣∠AEP﹣∠PEC=30°,
∵∠ADC=120°,
∴∠ECD=∠CED=180°﹣120°﹣30°=30°,
∴DE=CD,即△EDC是等腰三角形,
过D作DM⊥CE于M,则CM=CE,
在Rt△CMD中,∠ECD=30°,
∴cos30°==,
∴CM=CD,
∴CE=CD,
∵BC=CE,AB=CD,
∴BC=AB,
则当△CPE≌△CPB时,BC与AB满足的关系为BC=AB.
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/cc/2cc6f98dab46b6c4250360c1c76ec1a5.jpg)
如图,在平行四边形ABCD中,点P是对角线BD上任意一点,过点P作EF‖AD,分别交AB、CD于E、F,作GH∥AB,分
已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,P是线段AD边上的任意一点(不含端点A、D),连接PC,过点P作PE⊥PE交A
如图所示 在矩形ABCD中 AD=2AB 点M是AD的中点 点P是BC上的任意一点 过P点作PE⊥CM于E点 做PF⊥B
如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,点P是BC边上任意一点,PE⊥AB于E,
1.在平行四边形ABCD中,P为AC上一点,过点P作EF‖AB交AD于E,交BC于F,过点P作HG‖AD交AB于H,DC
一、等边三角形ABC中,AB=2,点P是AB边上的任意一点(点P与点A重合,但不与B重合),过点P作PE⊥BC于E,过点
在三角形ABC中,AD是BC边上的高,BC=2,AD=1,P为BD上一动点,过P作PE‖AB交AC于E,过P作PF‖AC
在 正△ABC中P是AB边上一点且PB=2PA,过点P作PE垂直AB,交AC于点E,过点P作PD垂直BC于点D,求证PD
(2012•宁夏)在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,P是BC上的任意一点(P与B、C不重合),过点P作A
在△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C点作CF‖AB,延长BP交AC于E,交AC于F,探究PB、PE
如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,AD=3,平行四边形ABCD的面积为10,点P是AB边上任意一点
在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E是AB边上一点,EF⊥CE交AD于点F,过点E作∠AEH=∠BEC,交射线FD于