关于线性子空间的用数学归纳法证明

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 09:07:35

关于线性子空间的
用数学归纳法证明

我来吧 1.s=1时候,W=Ws
W为Kn线性子空间也就是
ws为Kn线性子空间,自然得证
2,假设s=k时,有
W=w1并w2...并Wk为Kn的线性子空间
我们要证充要条件为WW=w1并w2...并Wk并Wk+1为Kn的线性子空间,要分两步
从容易的来,我先证明充分性 ,WW=w1并w2...并Wk并Wk+1为Kn线性子空间,作为他的性性子空间W当然也是Kn的线性子空间
难的是必要性,现在W=w1并w2...并Wk为Kn的线性子空间,要证明
WW=w1并w2...并Wk并Wk+1为Kn的线性子空间 ,这就要涉及到概念了
假设由Kn张成空间的基底是a1,a2...an
则任一个属于W空间的向量V1,必可以表示为b1*a1+b2*a2+...bn*an
又由于Wk+1也是 Kn的线性子空间,任一个属于W空间的向量V2,
必可以表示为c1*a1+c2*a2+...cn*an
令d1=b1+c1,...dn=bn+cn
可以看出,任意一个WW里面的向量V,可以分成某个V1和v2
所以可以表示为d1*a1+d2*a2+...dn*an,也就是还是以
Kn的基为基,所以WW还是Kn的子空间
所以对S=k+1也成立
由1,2
原命题得证
再问：必要性是已知W为kn的线性子空间证明存在i使W=Wi
再答：哦，不好意思，我眼花了，我再帮你证过！你稍等！
再问：嗯，太感谢了～
再答：难的是必要性，现在W=w1并w2。。。并Wk为Kn的线性子空间，要证明证明存在i使W=Wi,这就要涉及到概念了首先看两种运算的封闭任取ai，bi属于Wi 有ai＋bi属于Wi，nai属于Wi 因为W=w1并w2。。。并Wk 任v1，v2可以分解为ai的线性组合，bi的线性组合反设不存在W＝Wi,那么存在a，使得a属于W而不属于Wi 这里要注意Kn空间的0元素和乘法的单位元1，必然在每个Wi中，否则不够成子空间那么矛盾就来了，作为子空间1的a倍，必然在Wi中，而上面a又不属于任一个wi 所以反设不成立，原命题得证
再问：你好，可以写详细点么，没大看懂。谢谢啦！

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