作业帮分解因式：x的十五次方+x的十四次方+x的十三次方+…+x+1
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/16 12:18:10
分解因式：x的十五次方+x的十四次方+x的十三次方+…+x+1
x^15 + x^14 + x^13 + x^12 +……+ x"' + x" + x + 1
分组分解
= ( x^14 )( x + 1 ) + ( x^12 )( x + 1 ) +……+ x"( x + 1 ) + ( x + 1 )
= ( x + 1 )[ ( x^14 + x^12 ) + ( x^10 + x^8 ) + ( x^6 + x^4 ) + x" + 1 ]
= ( x + 1 )[ ( x^12 )( x" + 1 ) + ( x^8 )( x" + 1 ) + ( x^4 )( x" + 1 ) + ( x" + 1 ) ]
= ( x + 1 )( x" + 1 )[ x^12 + x^8 + x^4 + 1 ]
= ( x + 1 )( x" + 1 )[ ( x^8 )( x^4 + 1 ) + ( x^4 + 1 ) ]
= ( x + 1 )( x" + 1 )( x^4 + 1 )( x^8 + 1 )
或者
= ( x - 1 )( x^15 + x^14 + x^13 +……+ x" + x + 1 ) / ( x - 1 )
= ( x^16 - 1 ) / ( x - 1 )
= ( x^8 + 1 )( x^4 + 1 )( x^4 - 1 ) / ( x - 1 )
= ( x^8 + 1 )( x^4 + 1 )( x" + 1 )( x + 1 )( x - 1 ) / ( x - 1 )
= ( x^8 + 1 )( x^4 + 1 )( x" + 1 )( x + 1 )
再问： 谢谢～
再答： x^15 + x^14 + x^13 + x^12 +……+ x"' + x" + x + 1 分组分解，方式方法不只一个 = ( x^12 )( x"' +x" +x +1 ) + ( x^8 )( x"' +x" +x +1 ) + ( x^4 )( x"' +x" +x +1 ) + ( x"' + x" +x +1 ) = ( x"' + x" + x + 1 )( x^12 + x^8 + x^4 + 1 ) = [ x"( x + 1 ) + ( x + 1 ) ][ ( x^8 )( x^4 + 1 ) + ( x^4 + 1 ) ] = ( x + 1 )( x" + 1 )( x^4 + 1 )( x^8 + 1 ) 或者 = ( x^12 + x^4 + x^8 + 1 )( x"' + x + x" + 1 ) = [ x^4( x^8 + 1 ) + ( x^8 + 1 ) ][ x( x" + 1 ) + ( x" + 1 ) ] = ( x^8 + 1 )( x^4 + 1 )( x" + 1 )( x + 1 ) 如果分组分解，还是四个一组更好吧。
再问： …我有点不太看得懂诶…还是谢谢你呢
再答： 题目中分析的 a^n - b^n，我也提示一下， 想想平方差， a" - b" = ( a - b )( a + b ) a" - 1 = ( a - 1 )( a + 1 ) 还有立方差， a"' - b"' = ( a - b )( a" + ab + b" ) a"' - 1 = ( a - 1 )( a" + a + 1 ) 再看看等比数列 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 3 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 7 + 8 + 16 + 32 + 64 = 15 + 16 + 32 + 64 = 31 + 32 + 64 = 63 + 64 = 127 就是 [ a^(n+1) - 1 ] = ( a - 1 )( 1 + a + a" + a"' +……+ a^n ) 或者 ( a^n - 1 ) = ( a - 1 )[ 1 + a + a" + a"' +……+ a^(n-1) ]
再问： 喔
再问： 谢谢学霸
再答： 等比数列求和，你没有看出来吗？ 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 1 + 2 + 2" + 2"' + 2^4 + 2^5 =【 3 + 4 】+ 2"' + 2^4 + 2^5 ——(1+2) = 3 = ( 4 - 1 ) = 2" - 1 =【 7 + 8 】+ 2^4 + 2^5 ——(1+2+4) = 7 = ( 8 - 1 ) = 2"' - 1 =【 15 + 16 】+ 2^5 ——(1+2+4+8) = 15 = ( 16 - 1 ) = 2^4 - 1 =【 31 + 32 】 ——(1+2+4+8+16) = 31 = ( 32 - 1 ) = 2^5 - 1 = 63 = ( 64 - 1 ) = 2^6 - 1 当然，这里面还有 ( 2 - 1 ) = 1 省略了，没写出来。 上面这些 2^n，不仅和二进制有关， 也是著名的【棋盘上的麦粒】的问题， 前面省略了 ( 2 - 1 ) 没有写出来， 等比数列正规一些，再看看 3^n 吧， 1 + 3 + 3" + 3"' + 3^4 + 3^5 = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 ——还是一步一步，先看看前两项 =【 4 + 9 】+ 3"' + 3^4 + 3^5 —— 4 = 8 / 2 = ( 9 - 1 ) / ( 3 - 1 ) = ( 3" - 1 ) / ( 3 - 1 ) =【 13 + 27 】+ 3^4 + 3^5 —— 13 = 26 / 2 = ( 27 - 1 ) / ( 3 - 1 ) = ( 3"' - 1 ) / ( 3 - 1 ) =【 40 + 81 】+ 3^5 —— 40 = 80 / 2 = ( 81 - 1 ) / ( 3 - 1 ) = ( 3^4 - 1 ) / ( 3 - 1 ) =【 121 + 243 】 —— 121 = 242 / 2 = ( 243 - 1 ) / ( 3 - 1 ) = ( 3^5 - 1 ) / ( 3 - 1 ) = 364 = 728 / 2 = ( 729 - 1 ) / ( 3 - 1 ) = ( 3^6 - 1 ) / ( 3 - 1 ) 不怕说，我列举的例子的也绝对不只两个， 每一步的计算也算一个例子了，每一步我都做了分析， 等比数列 1 + a + a" + a"' +…… 的奥秘，你看明白了吗？
分组分解
= ( x^14 )( x + 1 ) + ( x^12 )( x + 1 ) +……+ x"( x + 1 ) + ( x + 1 )
= ( x + 1 )[ ( x^14 + x^12 ) + ( x^10 + x^8 ) + ( x^6 + x^4 ) + x" + 1 ]
= ( x + 1 )[ ( x^12 )( x" + 1 ) + ( x^8 )( x" + 1 ) + ( x^4 )( x" + 1 ) + ( x" + 1 ) ]
= ( x + 1 )( x" + 1 )[ x^12 + x^8 + x^4 + 1 ]
= ( x + 1 )( x" + 1 )[ ( x^8 )( x^4 + 1 ) + ( x^4 + 1 ) ]
= ( x + 1 )( x" + 1 )( x^4 + 1 )( x^8 + 1 )
或者
= ( x - 1 )( x^15 + x^14 + x^13 +……+ x" + x + 1 ) / ( x - 1 )
= ( x^16 - 1 ) / ( x - 1 )
= ( x^8 + 1 )( x^4 + 1 )( x^4 - 1 ) / ( x - 1 )
= ( x^8 + 1 )( x^4 + 1 )( x" + 1 )( x + 1 )( x - 1 ) / ( x - 1 )
= ( x^8 + 1 )( x^4 + 1 )( x" + 1 )( x + 1 )
再问： 谢谢～
再答： x^15 + x^14 + x^13 + x^12 +……+ x"' + x" + x + 1 分组分解，方式方法不只一个 = ( x^12 )( x"' +x" +x +1 ) + ( x^8 )( x"' +x" +x +1 ) + ( x^4 )( x"' +x" +x +1 ) + ( x"' + x" +x +1 ) = ( x"' + x" + x + 1 )( x^12 + x^8 + x^4 + 1 ) = [ x"( x + 1 ) + ( x + 1 ) ][ ( x^8 )( x^4 + 1 ) + ( x^4 + 1 ) ] = ( x + 1 )( x" + 1 )( x^4 + 1 )( x^8 + 1 ) 或者 = ( x^12 + x^4 + x^8 + 1 )( x"' + x + x" + 1 ) = [ x^4( x^8 + 1 ) + ( x^8 + 1 ) ][ x( x" + 1 ) + ( x" + 1 ) ] = ( x^8 + 1 )( x^4 + 1 )( x" + 1 )( x + 1 ) 如果分组分解，还是四个一组更好吧。
再问： …我有点不太看得懂诶…还是谢谢你呢
再答： 题目中分析的 a^n - b^n，我也提示一下， 想想平方差， a" - b" = ( a - b )( a + b ) a" - 1 = ( a - 1 )( a + 1 ) 还有立方差， a"' - b"' = ( a - b )( a" + ab + b" ) a"' - 1 = ( a - 1 )( a" + a + 1 ) 再看看等比数列 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 3 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 7 + 8 + 16 + 32 + 64 = 15 + 16 + 32 + 64 = 31 + 32 + 64 = 63 + 64 = 127 就是 [ a^(n+1) - 1 ] = ( a - 1 )( 1 + a + a" + a"' +……+ a^n ) 或者 ( a^n - 1 ) = ( a - 1 )[ 1 + a + a" + a"' +……+ a^(n-1) ]
再问： 喔
再问： 谢谢学霸
再答： 等比数列求和，你没有看出来吗？ 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 1 + 2 + 2" + 2"' + 2^4 + 2^5 =【 3 + 4 】+ 2"' + 2^4 + 2^5 ——(1+2) = 3 = ( 4 - 1 ) = 2" - 1 =【 7 + 8 】+ 2^4 + 2^5 ——(1+2+4) = 7 = ( 8 - 1 ) = 2"' - 1 =【 15 + 16 】+ 2^5 ——(1+2+4+8) = 15 = ( 16 - 1 ) = 2^4 - 1 =【 31 + 32 】 ——(1+2+4+8+16) = 31 = ( 32 - 1 ) = 2^5 - 1 = 63 = ( 64 - 1 ) = 2^6 - 1 当然，这里面还有 ( 2 - 1 ) = 1 省略了，没写出来。 上面这些 2^n，不仅和二进制有关， 也是著名的【棋盘上的麦粒】的问题， 前面省略了 ( 2 - 1 ) 没有写出来， 等比数列正规一些，再看看 3^n 吧， 1 + 3 + 3" + 3"' + 3^4 + 3^5 = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 ——还是一步一步，先看看前两项 =【 4 + 9 】+ 3"' + 3^4 + 3^5 —— 4 = 8 / 2 = ( 9 - 1 ) / ( 3 - 1 ) = ( 3" - 1 ) / ( 3 - 1 ) =【 13 + 27 】+ 3^4 + 3^5 —— 13 = 26 / 2 = ( 27 - 1 ) / ( 3 - 1 ) = ( 3"' - 1 ) / ( 3 - 1 ) =【 40 + 81 】+ 3^5 —— 40 = 80 / 2 = ( 81 - 1 ) / ( 3 - 1 ) = ( 3^4 - 1 ) / ( 3 - 1 ) =【 121 + 243 】 —— 121 = 242 / 2 = ( 243 - 1 ) / ( 3 - 1 ) = ( 3^5 - 1 ) / ( 3 - 1 ) = 364 = 728 / 2 = ( 729 - 1 ) / ( 3 - 1 ) = ( 3^6 - 1 ) / ( 3 - 1 ) 不怕说，我列举的例子的也绝对不只两个， 每一步的计算也算一个例子了，每一步我都做了分析， 等比数列 1 + a + a" + a"' +…… 的奥秘，你看明白了吗？