作业帮有关球的两道题!急!在线等
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/04 03:07:13
有关球的两道题!急!在线等
1.已知同一平面内两圆相外切,若沿两圆的内公切线将平面折成大小为θ的二面角｛θ∈（0,π）｝,求证：此两圆圆周上的所有点在同一球面上.
2.点P在直径为1的球面上,过P作两两垂直的三条弦,其中一条弦长是另一条的2倍,求这三条弦的最大值.
请尽快...不求最好,只求最快..
纠正：求这三条弦之和的最大值。
1.已知同一平面内两圆相外切,若沿两圆的内公切线将平面折成大小为θ的二面角｛θ∈（0,π）｝,求证：此两圆圆周上的所有点在同一球面上.
2.点P在直径为1的球面上,过P作两两垂直的三条弦,其中一条弦长是另一条的2倍,求这三条弦的最大值.
请尽快...不求最好,只求最快..
纠正：求这三条弦之和的最大值。
1.
只要证明过两圆圆心垂直于两圆所在面的两条直线相交,那么交点就是球心.
设两圆圆心为O1、O2,相切于点P,切线为k
垂直于两圆面且通过两圆圆心的直线为m、n
显然O1P⊥k,O2P⊥k
又∵线k是两圆所在平面的交线
∴m⊥k,n⊥k
∴k⊥面PO1m,k⊥面PO2n
∵过点P垂直于线k的平面是唯一的
∴面PO1m与面PO2n是同一平面
∴同一平面内的两条线m、n必然可以交于一点O【m显然不与n平行】
∴O点到⊙O1和⊙O2上点的距离都等于OP
∴⊙O1和⊙O2两圆圆周上所有的点在以O为球心,OP为半径的同一球面上
2.
可以设三条弦长分别为x、2x、y
以三条互相垂直的弦为邻边,可以补全出一个长方体,
此长方体内接于球,体对角线就是球的直径,长度为1
∴x^2+(2x)^2+y^2=1^2=1
∴5x^2+y^2=1
求x+2x+y=3x+y的最大值
由柯西不等式知：
(3x+y)^2
=[(3/√5)*(√5)x+1*y]^2
≤(9/5+1)(5x^2+y^2)
=9/5+1
=14/5
∴3x+y≤(√70)/5
当(√5)x/(3/√5)=y/1
即：5x=3y
x=(3√70)/70,y=(5√70)/70=(√70)/14 时
3x+y取到最大值(√70)/5
只要证明过两圆圆心垂直于两圆所在面的两条直线相交,那么交点就是球心.
设两圆圆心为O1、O2,相切于点P,切线为k
垂直于两圆面且通过两圆圆心的直线为m、n
显然O1P⊥k,O2P⊥k
又∵线k是两圆所在平面的交线
∴m⊥k,n⊥k
∴k⊥面PO1m,k⊥面PO2n
∵过点P垂直于线k的平面是唯一的
∴面PO1m与面PO2n是同一平面
∴同一平面内的两条线m、n必然可以交于一点O【m显然不与n平行】
∴O点到⊙O1和⊙O2上点的距离都等于OP
∴⊙O1和⊙O2两圆圆周上所有的点在以O为球心,OP为半径的同一球面上
2.
可以设三条弦长分别为x、2x、y
以三条互相垂直的弦为邻边,可以补全出一个长方体,
此长方体内接于球,体对角线就是球的直径,长度为1
∴x^2+(2x)^2+y^2=1^2=1
∴5x^2+y^2=1
求x+2x+y=3x+y的最大值
由柯西不等式知：
(3x+y)^2
=[(3/√5)*(√5)x+1*y]^2
≤(9/5+1)(5x^2+y^2)
=9/5+1
=14/5
∴3x+y≤(√70)/5
当(√5)x/(3/√5)=y/1
即：5x=3y
x=(3√70)/70,y=(5√70)/70=(√70)/14 时
3x+y取到最大值(√70)/5