已知双曲线x^2/a^2-y^/b^2=1(b>a>0),O为坐标原点离心率e=2,点M（根号5,根号3）在双曲线上,1

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/09 04:54:37

已知双曲线x^2/a^2-y^/b^2=1(b>a>0),O为坐标原点离心率e=2,点M（根号5,根号3）在双曲线上,1,求双
已知双曲线x^2/a^2-y^/b^2=1(b>a>0),O为坐标原点离心率e=2,点M（根号5,根号3）在双曲线上,
1,求双曲线的方程
2,若直线L与双曲线交与P,Q两点,且OP向量乘OQ向量=0,求|OP|^2+|OQ|^2的最小值设直线pq的方程是y=kx+m,点p的坐标是（x1,y1),点q的坐标是（x2,y2)将pq直线方程代入双曲线方程得到：（3-k^2)x^2-2kmx-m^2-12=0(※）由向量op点乘向量oq=0得到：x1x2+y1y2=0,即（1+k^2)x1x2+KM(X1+X2)+m^2=o所以[（1+k^2)m^2+12/k^2-3]-km[2km/k^2-3]+m^2=0,化简得：m^2=6k^2+6所以向量pq的模的平方=（1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]=24+[384k^2/(k^2-3)^2]≥24.问：最后一步的24+[384k^2/(k^2-3)^2]怎么来的,我化简不出来.
当k=0时，上式去等号，且方程(※）有解，又因为直线pq垂直x轴时，所以op模的平方+oq模的平方的最小值是24,为什么因为直线pq垂直x轴时，所以op模的平方+oq模的平方的最小值是24,怎么会是垂直x轴最小？

(1+k²)[(x1 + x2)² - 4x1x2]
= (k² + 1)[4k²m²/(k² - 3)² - 4(m² + 12)/(k² - 3)]
= 4(k² + 1)(k²m² - k²m² - 12k² + 3m² + 36)/(k² - 3)²
= 4(k² + 1)(-12k² + 3m² + 36)/(k² - 3)²
= 4(k² + 1)(-12k² + 18k² + 18 + 36)/(k² - 3)²
= 24(k² + 1)(k² + 9)/(k² - 3)²
= 24(k^4 + 10k² + 9)/(k² - 3)²
= 24(k^4 - 6k² + 9 + 16k²)/(k² - 3)²
= 24[(k² - 3)² + 16k²]/(k² - 3)²
= 24 + 384k²/(k² - 3)²
再问：还有pq模的平方>24是什么意思？
再答： |PQ|² = 24 + 384k²/(k² - 3)² > 24, 因为384k²/(k² - 3)² > 0 |PQ|² = |OP|² + |OQ|²
再问：那为什么因为直线pq垂直x轴时，所以op模的平方+oq模的平方的最小值是24,。怎么会是垂直x轴最小？
再答： k = 0时取等号，384k²/(k² - 3)², PQ的斜率为0, PQ垂直于y轴
再问：问了老师，是要分两种情况，一种是斜率存在，有k=0的情况。一种斜率不存在

已知双曲线C的中心在坐标原点,渐近线方程是3x+2y=1左焦点的坐标为（-根号13,0）,A ,B为双曲线上的动点,满足已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率e=根号5,过双曲线上一点M做两条直线MA,MB分别交双曲线于点A, 双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率为2,坐标原点到直线AB的距离为根号3/2,其中A（0,-b）,B（a, 紧急双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率为2,坐标原点到直线AB的距离为根号3/2,其中A（0,-b）,B 双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率为2,坐标原点到直线AB的距离为根号3/2,其中A(0,-b).B(a, 已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/2,过点M(2,1),o为坐标原点,平行于已知双曲线x*/a*-y*/b*=1（a>根号2）的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为多少已知双曲线的中心在坐标原点,焦点F1F2在坐标轴上,离心率为根号2,且过点M（3,-根号5）已知双曲线C的中心在坐标原点,焦点在X轴上离心率e=根号2,焦点到渐近线的距离为1 已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右顶点为A(2,0),离心率e=根号3/2,.O为坐标原点已知双曲线的方程为x2-y2/4=1 如图,点A的坐标为(-根号5,0)B是圆x2+（y-根号5）2=1上的一点点M在双 1.已知双曲线的中心在原点,焦点在X轴上.离心率e=根号3,焦距为2的根号3,求该双曲线方程