（2013•山西模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于A（0，3），交x轴于B、C两点（点B

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/07/18 22:15:09

（2013•山西模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c交y轴于A（0，3），交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧）．B、C两点坐标分别为（2，0），（6，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标．

（1）∵抛物线y=ax²+bx+c交y轴于A（0，3），交x轴于B、C两点坐标分别为（2，0），（6，0），
∴

c＝3
0＝4a+2b+c
0＝36a+6b+c，
解得：

a＝
1
4
b＝−2
c＝3，
∴抛物线的解析式为：y=
1
4x²-2x+3；

（2）相交．
证明：连接CE，则CE⊥BD，

∵抛物线交x轴于B、C两点坐标分别为（2，0），（6，0）．
∴对称轴x=
2+6
2=4，
∴OB=2，AB=
2 2+3 2=
13，BC=4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，
∴△AOB∽△BEC，
∴
AB
BC＝
OB
CE，
即