已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F1，F2，离心率e=22，P为椭圆上任一点，且△PF

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/07/04 18:28:18

已知椭圆C：

（Ⅰ）∵椭圆C：
x2
a2+
y2
b2=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F₁，F₂，
离心率e=

2
2，P为椭圆上任一点，且△PF₁F₂的最大面积为1，
∴

e＝
c
a＝

2
2
Smax＝bc＝1
a2＝b2+c2，解得：a=
2，b=1，c=1，
所以椭圆C的方程
x2
2+y2＝1．
（Ⅱ）设直线l的方程y=kx+n，
由

x2+2y2＝2
y＝kx+n，得：（2k²+1）x²+4knx+2n²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2＝
−4kn
2k2+1，x1x2＝
2n2−2
2k2+1．
由于以AB为直径的圆恒过原点O，
于是

OA•

OB＝0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
又y₁y₂=（kx₁+n）（kx₂+n）
=k2x1x2+kn(x1+x2)+n2
=
n2−2k2
2k2+1，
于是：
2n2−2
2k2+1+
n2−2k2
2k2+1＝0，即3n²-2k²-2=0，
依题意有：

AO•

AB＝
m
tan∠OAB，即|

AO|•|

AB|cos∠OAB=
m
tan∠OAB．
化简得：m=|

AO|•|

AB|sin∠OAB=2S_△OAB．
因此，要求m的最大值，只需求S_△OAB的最大值，下面开始求S_△OAB的最大值：
|AB|=
1+k2|x1−x2|=
1+k2•
(x1+x2)2−4x1x2
=
1+k2•
(
−4kn
2k2+1)2−4×
2n2−2
2k2+1
=
1+k2•

16k2−8n2+8
2k2+1．
点O到直线AB的距离d=
|n|

1+k2，
于是：S△OAB＝
1
2|AB|d
=
1
2•

n2(16k2−8n2+8)
2k2+1．
又因为3n²-2k²-2=0，所以2k²=3n²-2，
代入得S△OAB＝
1
2•

n2(16n2−8)
3n2−1
=
2•

2n4−n2
3n2−1．令t=3n²-1，得n²=
t+1
3，
于是：S△OAB＝
2•

2
9(t+1)2−
t+1
3
t
=
2•

2
9t2+
1
9t−
1
9
t
=
2•

1
9(−
1
t2+
1
t+2)．
当
1
t＝
1
2，即t=2，即n=±1时，
S_△OAB取最大值，且最大值为

2
2．
所以m的最大值为
2．

已知F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线交椭圆C于A、B两已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使asi 已知F1、F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C上的点A（1，32）到F1、F2两点已知点P是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0，xy≠0)上的动点，F1（-c，0）、F2（c，0）为椭圆的左、右焦点设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上顶点为A，椭圆C上两点P，Q在X轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2 已知椭圆C1：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，P是椭圆C1上任意一点，设该已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线与椭圆有一个交点P （2013•临沂二模）x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为32，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF 设F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若（2014•武清区三模）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，正△PF1F2 P是双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，焦距为2c，则△PF