已知△ABC的一个顶点为抛物线y^2=2x的顶点O,A、B两点都在抛物线上,且∠AOB=90°

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/09/01 05:24:41

已知△ABC的一个顶点为抛物线y^2=2x的顶点O,A、B两点都在抛物线上,且∠AOB=90°
（1）证明：直线AB必过一定点
（2）求△AOB面积的最小值

（1）证明：
对抛物线上任意不和O点重合的一点A(Xa,Ya),设满足题意的B点为B(Xb,Yb),则有：
Ya^2=2Xa；（1）
Yb^2=2Xb；（2）
Ya/Xa*Yb/Xb=-1 (AO⊥BO) （3）
（1）*（2）,再将（3）代入：YaYb=-4
（1）-（2）,可得AB的斜率=（Yb-Ya)/(Xb-Xa)=2/(Ya+Yb)
所以直线AB的方程为（y-Ya)=2/(Ya+Yb)*(x-Xa)
（Ya+Yb)y-Ya^2-YaYb=2x-2Xa
所以（Ya+Yb)y=2x-4
即AB的方程为y=2/(Ya+Yb)*(x-2)
故直线AB恒过（2,0）点.
（2）设（2,0）点为D,则三角形AOB被OD分为同底(底长OD=2）的两个三角形AOD和BOD,它们的高分别为|Ya|和|Yb|.
S△AOB=1/2*2（|Ya|+|Yb|）≥2√(|Ya||Yb|)=2√|-4|=4,（当|Ya|=|Yb|时取等号）
所以△AOB面积的最小值=4

已知圆x2+y2-9x=0与顶点在原点O，焦点在x轴上的抛物线交于A，B两点，△AOB的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线C 已知抛物线y=x2-2x+a的顶点A在直线y=-x+3上，直线y=-x+3与x轴的交点为B求△AOB的面积（O是坐标原点已知抛物线y²=2px的顶点坐标为原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线交与A,B两点, 已知抛物线y=x^2/4-(2-a)x+2a-1与直线y=x+1交于B、C两点,且点B在y轴上,抛物线的顶点为A 抛物线Y^2=4X与直线X+Y-2=0的交点为AB,抛物线的顶点为O,在抛物线弧AOB上求一点C,使△ABC的面积最大, 抛物线的顶点在原点O,焦点在x轴上,A、B为抛物线上两点,且OA垂直于OB,直线OA的方程为y=2x,AB=5根号3 已知抛物线Y=ax2+bx+c的顶点C（1,—2）,与X轴交于A,B两点,且△ ABC为直角三角形. 已知：抛物线的顶点A在直线y=2x上，抛物线过原点O，且与x轴的另一个交点为B，OB=4，求该抛物线的解析式．已知：抛物线的顶点A在直线y=2x上,抛物线过原点O,与x轴的另一个交点为B,且OB=4,求抛物线解析式已知a为实数,求证：抛物线y=x^2+(a+2)x-2a+1都经过一个定点且顶点都若在一条抛物线上 RT△AOB的三个顶点都在抛物线y²=2px上,其中直角顶点O为原点 OA所在直线的方程为y=√3 x,△A 已知正三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2=6x上，O为坐标原点，则△AOB的边长=（　　）