| 2a | 1 | | 0 | a
(1)当a=0时,|A|=0; 当a≠0时, 利用行列式性质,有 |A|= . 2a1 0 a22a⋱ ⋱⋱1 0 a22a. = . 2a1 0 3a 21 0 a22a1 ⋱⋱⋱ 0 a22a1 a22a. = . 2a1 0 3a 21 0 0 4a 31 ⋱⋱⋱ 0 0 na n−11 0 (n+1)a n. =2a• 3a 2• 4a 3•…• na n−1• (n+1)a n =(n+1)an. (2)若方程组Ax=b有唯一解,则|A|=(n+1)an≠0,即a≠0. 由克莱姆法则,可得 x1=
. 11 02a1 0 a22a1 ⋱⋱⋱ 0 a22a1 a22a. |A|= 1×nan−1 (n+1)an= n (n+1)a. (3)若使方程组Ax=b有无穷多解,则|A|=(n+1)an=0,即a=0. 把a=0代入到矩阵A中,显然有r(A┋B)=r(A)=n-1, 故方程组的基础解系含一个解向量, 它的基础解系为k(1,0,0,…,0)T(k为任意常数). 代入a=0后,方程组化为
x2=1 x3=x4=…=xn=0, 故特解为(0,1,0,…,0)T. 由线性方程组解的结构定理可得, 方程组Ax=b的通解为k(1,0,0,…,0)T+(0,1,0,…,0)T,其中k为任意常数.
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