已知函数f(x)=sin(x/3+π/6)+sin(x/3-π/6)+cos(x/3),y=g(x)的图像与y=f(x)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/18 11:46:38
已知函数f(x)=sin(x/3+π/6)+sin(x/3-π/6)+cos(x/3),y=g(x)的图像与y=f(x)的图像关于直线x=a(a>0)对称,
(1)求函数y=g(x)的表达式
(2)若y=f(x)的图像可以由y=g(x)的图像向右平移π/3个单位得到,求正数a的最小值及此时y=g(x)的对称中心
(3)在(2)的条件下,若不等式f(x)-g(x)>msin(π/18)恒成立,求函数y=m^2-2m+3的值域
(1)求函数y=g(x)的表达式
(2)若y=f(x)的图像可以由y=g(x)的图像向右平移π/3个单位得到,求正数a的最小值及此时y=g(x)的对称中心
(3)在(2)的条件下,若不等式f(x)-g(x)>msin(π/18)恒成立,求函数y=m^2-2m+3的值域
f(x) = sin(x/3+π/6)+sin(x/3-π/6)+cos(x/3)
= 2sin(x/3)cos(π/6) + cos(x/3)
= 2[sin(x/3)·cos(π/6) + sin(π/6)·cos(x/3)]
= 2sin(x/3 + π/6)
“y=g(x)的图像与y=f(x)的图像关于直线x=a(a>0)对称”,∴y=g(x)的表达式为:g(x) = 2sin[(2a-x)/3 + π/6].
g(x) = 2sin[(2a-x)/3 + π/6] = 2sin{π - [(2a-x)/3 + π/6]}
= 2sin{(x/3 + π/6) + (2π/3 - 2a/3)}
g(x - π/3) = 2sin{(x/3 + π/6) + (5π/9 - 2a/3)}
若“y=f(x)的图像可以由y=g(x)的图像向右平移π/3个单位得到” ,则应有:
(5π/9 - 2a/3) = 2kπ ,k是任意整数 ,整理得:a = π·(5/6 - 3k) ,
a > 0 ,故k < 5/18 ,在此条件下 ,k可取的最大整数为 0 ,因此 ,a的最小值为:5π/6 ,此时 g(x) = 2sin[x/3 + 5π/18] ,它可以化为:
g(x) = 2sin[(x + 5π/6)/3] ,它是由 2sin(x/3) 向左平移(5π/6)个单位得到的 ,而奇函数 2sin(x/3) 的对称中心为:( K·3π/2 ,0 ),因此 ,
此时g(x)的对称中心为 :( K·3π/2 +5π/6 ,0 ),K是任意整数.
在(2)的条件下 ,f(x)-g(x) = 2sin(x/3 + π/6) - 2sin(x/3 + 5π/18)
= -4sin(π/18)·cos(x/3 + 2π/9) ,又因为 sin(π/18) > 0 ,∴“f(x)-g(x)>msin(π/18)恒成立”等价于 :-4·cos(x/3 + 2π/9) > m 恒成立 ,而
cos(x/3 + 2π/9) 取1时 ,-4cos(x/3 + 2π/9)有最小值 :-4 ,∴m的范围是:
m < -4 ,y = m^2 - 2m + 3 = (m - 1)^2 + 2 ,∵m < -4 ,∴m - 1 < -5 ,
∴ (m - 1)^2 + 2 > (-5)^2 + 2 = 27 ,∴y=m^2-2m+3的值域:(27 ,正无穷)
= 2sin(x/3)cos(π/6) + cos(x/3)
= 2[sin(x/3)·cos(π/6) + sin(π/6)·cos(x/3)]
= 2sin(x/3 + π/6)
“y=g(x)的图像与y=f(x)的图像关于直线x=a(a>0)对称”,∴y=g(x)的表达式为:g(x) = 2sin[(2a-x)/3 + π/6].
g(x) = 2sin[(2a-x)/3 + π/6] = 2sin{π - [(2a-x)/3 + π/6]}
= 2sin{(x/3 + π/6) + (2π/3 - 2a/3)}
g(x - π/3) = 2sin{(x/3 + π/6) + (5π/9 - 2a/3)}
若“y=f(x)的图像可以由y=g(x)的图像向右平移π/3个单位得到” ,则应有:
(5π/9 - 2a/3) = 2kπ ,k是任意整数 ,整理得:a = π·(5/6 - 3k) ,
a > 0 ,故k < 5/18 ,在此条件下 ,k可取的最大整数为 0 ,因此 ,a的最小值为:5π/6 ,此时 g(x) = 2sin[x/3 + 5π/18] ,它可以化为:
g(x) = 2sin[(x + 5π/6)/3] ,它是由 2sin(x/3) 向左平移(5π/6)个单位得到的 ,而奇函数 2sin(x/3) 的对称中心为:( K·3π/2 ,0 ),因此 ,
此时g(x)的对称中心为 :( K·3π/2 +5π/6 ,0 ),K是任意整数.
在(2)的条件下 ,f(x)-g(x) = 2sin(x/3 + π/6) - 2sin(x/3 + 5π/18)
= -4sin(π/18)·cos(x/3 + 2π/9) ,又因为 sin(π/18) > 0 ,∴“f(x)-g(x)>msin(π/18)恒成立”等价于 :-4·cos(x/3 + 2π/9) > m 恒成立 ,而
cos(x/3 + 2π/9) 取1时 ,-4cos(x/3 + 2π/9)有最小值 :-4 ,∴m的范围是:
m < -4 ,y = m^2 - 2m + 3 = (m - 1)^2 + 2 ,∵m < -4 ,∴m - 1 < -5 ,
∴ (m - 1)^2 + 2 > (-5)^2 + 2 = 27 ,∴y=m^2-2m+3的值域:(27 ,正无穷)
已知函数f(x)=sin(π/3+4x)+cos(4x-π/6),设g(x)=f(x+a),若g(x)的图像关于y轴对称
已知函数f(x)=cos(2x-π/3)+sin^2x-cos^2x,设函数g(x)=[f(x)]^2+f(x),求g(
若函数y=g(x)与y=f(x)的图像关于直线x=1对称 求y=g(x) ,Y=f(x)=根号三sin(πx/4-π/3
已知函数f(x)=√3sin(π/4x+π/6),若y=g(X)的图像关于x=1对称.求当x∈【0,4/3】时,y=g(
已知函数f(x)=sin(x-π/6)+cos(x-π/3)g(x)=2sin²x/2
已知函数f(x)=cos(2x-π/3)+sin^2 x-cos^2 x
已知函数f(x)=cos(2x-π\3)+sin²x-cos²x
已知函数f(x)=根号3 sinωx+cosωx (ω大于0),y=f(x)的图像与直线y=2的两个相邻交点的距离为π,
已知函数f(x)=2sin(x/4)cos(x/4)-2√3sin²(x/4)+√3,且g(x)=f(x+π/
已知函数f(x)=sin(x-π/6)(x∈R),则函数Y=f(x)的表达式可以改写成f(x)=cos(x-π/3)吗?
已知函数f(x)=sin^Wx+√3coswx.cos(π /2-wx) (w>0)且函数y=f(x)的图像相邻两条对称
函数f(x)=cos2x+cos(x+π/3)+sin(x+π/6)+3sin^2x的最小值