设方程x^2-3x+1=0的两根是α,β,求满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x).
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 23:09:53
设方程x^2-3x+1=0的两根是α,β,求满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x).
∵方程x^2-3x+1=0的两根是α,β
∴α+β=3,α·β=1
设满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x).=ax²+bx+﹙1-a-b﹚,则
aα²+bα+﹙1-a-b﹚=β①
aβ²+bβ+﹙1-a-b﹚=α②
①-②,得a﹙α²-β²﹚+b﹙α-β﹚=-﹙α-β﹚即3a+b=﹣1④
①+②,得a﹙α²+β²﹚+b﹙α+β﹚+2﹙1-a-b﹚=α+β即5a+b=1⑤
联立④⑤并解得a=1,b=﹣4
∴f(x).=x²-4x+4
∴α+β=3,α·β=1
设满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x).=ax²+bx+﹙1-a-b﹚,则
aα²+bα+﹙1-a-b﹚=β①
aβ²+bβ+﹙1-a-b﹚=α②
①-②,得a﹙α²-β²﹚+b﹙α-β﹚=-﹙α-β﹚即3a+b=﹣1④
①+②,得a﹙α²+β²﹚+b﹙α+β﹚+2﹙1-a-b﹚=α+β即5a+b=1⑤
联立④⑤并解得a=1,b=﹣4
∴f(x).=x²-4x+4
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已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1及f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式
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