已知a(n+1)=1/(1+1/a(n)) (n=1,2,3,...,2013)求当
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/31 13:36:01
已知a(n+1)=1/(1+1/a(n)) (n=1,2,3,...,2013)求当
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/51/551b15dc9c978d287d03a4acd48f19a6.jpg)
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已知a‹n+1›=1/(1+1/a‹n›) (n=1,2,3,...,2013),
求当a₁=1时a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+.+a₂₀₁₃a₂₀₁₄
∵a‹n+1›=1/(1+1/a‹n›) =a‹n›/(a‹n›+1).(1),
∴a‹n+1›(a‹n›+1)=a‹n›a‹n+1›+a‹n+1›=a‹n›
即有a‹n›a‹n+1›=a‹n›-a‹n+1›
将n=1,2,3,.,2013依次代入得:
a₁a₂=a₁-a₂
a₂a₃=a₂-a₃
a₃a=a₃-a₄
a₄a₅=a₄-a₅
.
a₂₀₁₃a₂₀₁₄=a₂₀₁₃-a₂₀₁₄
_______________________+
a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+.+a₂₀₁₃a₂₀₁₄=a₁-a₂₀₁₄=1-a₂₀₁₄.(2)
下面我们来求a₂₀₁₄的值.
∵a₁=1,∴按递推公式(1)得:
a₂=1/2,a₃=(1/2)/(1/2+1)=1/3,a₄=(1/3)/(1/3+1)=1/4,.,即有a‹n›=1/n;
故a₂₀₁₄=1/2014.代入(2)式即得:
a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+.+a₂₀₁₃a₂₀₁₄=a₁-a₂₀₁₄=1-1/2014=2013/2014.
求当a₁=1时a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+.+a₂₀₁₃a₂₀₁₄
∵a‹n+1›=1/(1+1/a‹n›) =a‹n›/(a‹n›+1).(1),
∴a‹n+1›(a‹n›+1)=a‹n›a‹n+1›+a‹n+1›=a‹n›
即有a‹n›a‹n+1›=a‹n›-a‹n+1›
将n=1,2,3,.,2013依次代入得:
a₁a₂=a₁-a₂
a₂a₃=a₂-a₃
a₃a=a₃-a₄
a₄a₅=a₄-a₅
.
a₂₀₁₃a₂₀₁₄=a₂₀₁₃-a₂₀₁₄
_______________________+
a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+.+a₂₀₁₃a₂₀₁₄=a₁-a₂₀₁₄=1-a₂₀₁₄.(2)
下面我们来求a₂₀₁₄的值.
∵a₁=1,∴按递推公式(1)得:
a₂=1/2,a₃=(1/2)/(1/2+1)=1/3,a₄=(1/3)/(1/3+1)=1/4,.,即有a‹n›=1/n;
故a₂₀₁₄=1/2014.代入(2)式即得:
a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+.+a₂₀₁₃a₂₀₁₄=a₁-a₂₀₁₄=1-1/2014=2013/2014.
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