已知,如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC的中点,⊙O经过B,C,D三点,与AB交于另一点E.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/06 19:42:20
已知,如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC的中点,⊙O经过B,C,D三点,与AB交于另一点E.
(1)请你仔细观察图形,连接图中已表明字母的某两点,得到一条新线段,证明它与线段AE相等;
(2)在图中,过点E作⊙O的切线,交AD于点F;
①求证:EF2=FD•FC;
②若AF=DF,求sinA的值.
(1)请你仔细观察图形,连接图中已表明字母的某两点,得到一条新线段,证明它与线段AE相等;
(2)在图中,过点E作⊙O的切线,交AD于点F;
①求证:EF2=FD•FC;
②若AF=DF,求sinA的值.
(1)连接CE;
证明:连接DE;
∵∠ABC=90°,
∴CE是⊙O的直径;
∴∠CDE=90°;
又∵AD=CD,
∴AE=CE.
(还可以连接OD,利用中位线定理证AE等于⊙O的直径,或连接BD,利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证AD=BD,∠A=∠DBA,∠DBA=∠ACE)
(2)①证明:∵EF是⊙O的切线,
∴EF⊥EC;
∴△CEF∽△EDF;
∴
EF
FD=
FC
EF,即EF2=FD•FC.
②∵AF=DF,AD=CD,
∴FD=
1
3FC,∴EF2=
1
3FC2;
∴
EF
FC=
3
3,
∴sin∠ACE=
3
3;
又∵EA=EC,
∴∠ACE=∠A;
∴sin∠A=
3
3.
证明:连接DE;
∵∠ABC=90°,
∴CE是⊙O的直径;
∴∠CDE=90°;
又∵AD=CD,
∴AE=CE.
(还可以连接OD,利用中位线定理证AE等于⊙O的直径,或连接BD,利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证AD=BD,∠A=∠DBA,∠DBA=∠ACE)
(2)①证明:∵EF是⊙O的切线,
∴EF⊥EC;
∴△CEF∽△EDF;
∴
EF
FD=
FC
EF,即EF2=FD•FC.
②∵AF=DF,AD=CD,
∴FD=
1
3FC,∴EF2=
1
3FC2;
∴
EF
FC=
3
3,
∴sin∠ACE=
3
3;
又∵EA=EC,
∴∠ACE=∠A;
∴sin∠A=
3
3.
(2014•河北区三模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线交AC于点D,点O是AB上一点,⊙O过B、
如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以AB上点O为圆心,BO为半径的圆交AB的中点于E,交BC于D,且与AC切于点P
如图,已知在△ABC中,∠C=90°,AE平分∠BAC交BC于点E,点D在AB上,以AD为直径的⊙O经过点E,且交AC于
如图,Rt△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,E为BC上一点,过D作FD⊥DE,FD交AC于F,经过E、F、D三点
如图,Rt△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,E为BC上一点,过D作FD⊥DE,FD交AC于F,经过E,F,D三点
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且∠
已知,如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心.OA长为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且∠
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于D,点O在AB上,经过A、D两点的⊙O交AB于E.
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD是角平分线,过A,C,D,三点的圆与斜边AB交于点E,连接DE(已知△AC
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径作⊙O交AB于点D,取AC的中点E,连接DE、OE.
已知:如图,在Rt△ABC中,∠ABC = 90°,半圆O切BC于点B,切AC于点D,交AB于点E,BC= BE =2,
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AB上一点,以AD为直径作⊙O交AC于E,与BC相切于点F,连接AF。(1)