一道小学的数论题已知：（a,b）=12,【a,b】=1500【b,c】=1500,那么满足上述条件的自然数,a,b,c有

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/03 12:41:54

一道小学的数论题
已知：（a,b）=12,【a,b】=1500【b,c】=1500,那么满足上述条件的自然数,a,b,c有多少组?
（a,b）是a和b的最大公因数的意思,【a,b】是a和b的最小公倍数的意思,以此类推.

（a,b）=12,【a,b】=1500
1500÷12=125
125=5×5×5
这几步可以这样理
（a,b）=12,说明a和b里都有若干个12；
【a,b】=1500,1500÷12=125,如果说a是12的X倍,b是12的Y倍,那么XY=125
那么X和Y可能有几种可能呢?
125=5×5×5
第一种,X=1,Y=125,此时a=12,b=1500,
第二种,X=5,Y=25,此种情况排除,因为这样的话,a和b的最大公因数就不是12,而是12×5=60（可以验证,此时a=60,b=300,(a,b)=60 )
第三种,X=25,Y=5,此种情况同样排除,理由同上.
第四种,X=125,Y=5,此时a=1500,b=12.
针对一、四两种情况展开讨论.
当b=1500时,【b,c】=1500较易满足,只要C为b的因数即可（倍数关系时,两数最小公倍数是两数中较大的数）
1500=2×2×3×5×5×5,共有3×2×4=24个因数.因此C有24种取值可能.则a,b,c的可能分别为
12,1500,1
12,1500,2
12,1500,3
12,1500,4
12,1500,5
12,1500,6
12,1500,10
……
12,1500,1500
当b=12时,【b,c】=1500,
因为12的因数有1,2,3,4,6,12,且1500÷12=125
所以c可能为125×1=125
125×2=250,
125×3=375,
125×4=500,
125×6=750
125×12=1500,共六种可能.
因此共有24+6=30种.
速度吃饭去了.老婆叫了.

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