一道双曲线轨迹方程题双曲线实轴平行x轴,离心率e=3/2,它的左分支经过圆x^2+y^2+4x-10y+20=0的圆心M
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/03 06:08:17
一道双曲线轨迹方程题
双曲线实轴平行x轴,离心率e=3/2,它的左分支经过圆x^2+y^2+4x-10y+20=0的圆心M,双曲线左焦点在此圆上,求双曲线右顶点的轨迹方程.
双曲线实轴平行x轴,离心率e=3/2,它的左分支经过圆x^2+y^2+4x-10y+20=0的圆心M,双曲线左焦点在此圆上,求双曲线右顶点的轨迹方程.
作参考函数图象如下:
圆M方程 (x+2)^2+(y-5)^2=9;
设双曲线右顶点某一时刻的坐标为(X,Y),则左顶点坐标可表示为(X-2a,Y), 其中a为实半轴;由离心率e=3/2知半焦距c=a*e=3a/2,左焦点F的坐标是(X-a-c,Y),即(X-5a/2,Y)按题条件它位于圆M上;
F满足M的方程:(X-5a/2+2)^2+(Y-5)^2=9;……①
双曲线半虚轴b=√(c^2-a^2)=√5*a/2;其中心在(X-a,Y),方程可表示为:
(x-X+a)^2/(a^2)-(y-Y)^2/(√5a/2)^2=1;
它经过圆M的中心(-2,5),故有:(-2-X+a)^2/a^2-(5-Y)^2/(5a^2/4)=1;
由上式求得a*(5/2)=5(X+2)/4-(5-Y)^2/(X+2),代入①式即得双曲线右顶点规迹方程:
[X-5(X+2)/4+(5-Y)^2/(X+2)+2]^2+(Y-5)^2=9;
[-(X+2)/4+(Y-5)^2/(X+2)]^2+(y-5)^2=9 ;
再次化简得:[(X+2)^2/4+(Y-5)^2]=±3(X+2);
可以看出,上式代表两个椭圆方程(X+2±6)^2/4+(Y-5)^2=9,其中心坐标分别是(-8,5)和(2,5);中心在(-8,5)的规迹方程实为当双曲线右支通过圆M的增根,应舍去.最后得到的规迹方程为:
(X-2)^2/(6)^2+(y-5)^2/3^2=1;
该椭圆长半轴a=6,短半轴b=3,中心(2,5);
圆M方程 (x+2)^2+(y-5)^2=9;
设双曲线右顶点某一时刻的坐标为(X,Y),则左顶点坐标可表示为(X-2a,Y), 其中a为实半轴;由离心率e=3/2知半焦距c=a*e=3a/2,左焦点F的坐标是(X-a-c,Y),即(X-5a/2,Y)按题条件它位于圆M上;
F满足M的方程:(X-5a/2+2)^2+(Y-5)^2=9;……①
双曲线半虚轴b=√(c^2-a^2)=√5*a/2;其中心在(X-a,Y),方程可表示为:
(x-X+a)^2/(a^2)-(y-Y)^2/(√5a/2)^2=1;
它经过圆M的中心(-2,5),故有:(-2-X+a)^2/a^2-(5-Y)^2/(5a^2/4)=1;
由上式求得a*(5/2)=5(X+2)/4-(5-Y)^2/(X+2),代入①式即得双曲线右顶点规迹方程:
[X-5(X+2)/4+(5-Y)^2/(X+2)+2]^2+(Y-5)^2=9;
[-(X+2)/4+(Y-5)^2/(X+2)]^2+(y-5)^2=9 ;
再次化简得:[(X+2)^2/4+(Y-5)^2]=±3(X+2);
可以看出,上式代表两个椭圆方程(X+2±6)^2/4+(Y-5)^2=9,其中心坐标分别是(-8,5)和(2,5);中心在(-8,5)的规迹方程实为当双曲线右支通过圆M的增根,应舍去.最后得到的规迹方程为:
(X-2)^2/(6)^2+(y-5)^2/3^2=1;
该椭圆长半轴a=6,短半轴b=3,中心(2,5);
已知双曲线x^2/m-y^2/n=1的一条渐近线方程为y=(4/3)x,则该双曲线的离心率e为
双曲线的渐近线方程是3x+2y=0,则该双曲线的离心率为
设双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,则双曲线的离心率为?
直线l:y=x+2与以原点为圆心,以双曲线C的虚半长轴为半径的圆相切,求双曲线方程(离心率为根号三,焦点在x轴)
求与双曲线y^2/4-x^2/3=1有相同渐近线且过M(3.-2)的双曲线方程及离心率
已知双曲线过点P(4,1),离心率e=(根号下5)/2,且两条堆成轴为x轴,y轴.求1)双曲线方程 2)写出它的顶点坐标
双曲线以椭圆x/9+y/25=1的焦点为焦点,它的离心率是椭圆离心率的2倍求双曲线的方程
已知双曲线C的焦点在x轴上,离心率e=根号5且直线y=x+2被双曲线截得的弦长为12.求双曲线C的方程
已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的一个焦点与圆x平方+y平方-10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率为根号5
焦点在y轴上的双曲线,如果渐近线的方程为y=正负根号3x,则双曲线的离心率e=
设双曲线C:X^2-Y^2=1(a>0,b>0)的离心率E=2,经过双曲线 右焦点F且斜率为根号15/3的直线交双曲线与
已知双曲线的一条渐近线方程是x-2y=0,若双曲线经过点M(25,1)