曲面积分 求(xdydz + ydzdx + zdxdy) /[(x^2+y^2+z^2)^(3/2)]
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/19 05:48:08
曲面积分 求(xdydz + ydzdx + zdxdy) /[(x^2+y^2+z^2)^(3/2)]
求∫∫(xdydz + ydzdx + zdxdy) /[(x^2+y^2+z^2)^(3/2)]
积分区域是
(1) 半径为a的上半球的上表面(z>0的上表面)
(2)(x^2)/4 + (y^2)/9 + (z^2)/25 = 1 (z >= 0 的上表面)
第一问我是带入成 a^(-3)*∫∫[(a^2-x^2-y^2)^(1/2)]dxdy 区域是x^2+y^2
第一问我是带入成 a^(-3)*∫∫[(a^2-x^2-y^2)^(1/2)]dxdy 区域是x^2+y^2
求∫∫(xdydz + ydzdx + zdxdy) /[(x^2+y^2+z^2)^(3/2)]
积分区域是
(1) 半径为a的上半球的上表面(z>0的上表面)
(2)(x^2)/4 + (y^2)/9 + (z^2)/25 = 1 (z >= 0 的上表面)
第一问我是带入成 a^(-3)*∫∫[(a^2-x^2-y^2)^(1/2)]dxdy 区域是x^2+y^2
第一问我是带入成 a^(-3)*∫∫[(a^2-x^2-y^2)^(1/2)]dxdy 区域是x^2+y^2
第一题
∫∫Σ (xdydz + ydzdx + zdxdy)/(x² + y² + z²)^(3/2)
= (1/a³)∫∫Σ xdydz + ydzdx + zdxdy
= (1/a³)∫∫Σ x(- ∂z/∂x)dxdy + y(- ∂z/∂y)dxdy + zdxdy
= (1/a³)∫∫D a²/√(a² - x² - y²) dxdy
= (1/a)∫(0,2π) ∫(0,a) r/√(a² - r²) drdθ
= 2π
第二题要注意些地方,用高斯公式是最方便的
由于这个不是封闭曲面,所以要在下面加上一个平面,但是也要绕过不连续的奇点部分
所以,这个平面是一个圆环,从yz面或zx面正看这立体的平面图,是一道彩虹的样子
里面的曲面是小球体x² + y² + z² = λ²,外面的曲面是椭球体x²/4 + y²/9 + z²/25 = 1
P,Q,R的偏导数都相等 ==> 结果与曲面无关(跟格林公式的积分与路径无关的原理相似)
选最简单的曲面Σ1:x² + y² + z² = λ²,取下侧
还要补上圆环Σ2:z = 0,取下侧
∫∫Σ1 (xdydz + ydzdx + zdxdy)/(x² + y² + z²)^(3/2)
= (- 1/λ³)∫∫Σ1 x(- ∂z/∂x)dxdy + y(- ∂z/∂y)dxdy + zdxdy
= (- 1/λ³)∫∫D λ²/√(λ² - x² - y²) dxdy
= (- 1/λ)∫(0,2π) ∫(0,λ) r/√(λ² - r²) drdθ
= - 2π
而∫∫Σ2 (xdydz + ydzdx + zdxdy)/(x² + y² + z²)^(3/2)
= ∫∫Σ2 0dxdy/(x² + y²)^(3/2) = 0
原积分I = 0 - (- 2π) - 0 = 2π
第二题你的思想没错,结果与曲面无关,可以任选包含奇点的曲面
(外曲面取上侧,内曲面取下侧;反之亦然),总之原积分不可以包含该奇点,要把其排除在外
再问: 谢谢 再问一下第一问 上半球不是关于 xOz 和yOz对称吗 又分别是y和x的奇函数? ∫∫Σ xdydz + ydzdx 为啥不等于0? 给加分 谢谢!
再答: 第一类曲面积分符合 偶倍奇零 性质 第二类曲面积分符合 偶零奇倍 性质 刚好调转的。 ∫∫Σ xdydz,分别前侧和后侧 前侧的曲面为Σ1:x = √(a² - y² - z²) 后侧的曲面为Σ2:x = - √(a² - y² - z²) ∫∫Σ xdydz = ∫∫Σ1 xdydz + ∫∫Σ2 xdydz = [+ ∫∫D √(a² - y² - z²) dydz] + [- ∫∫D - √(a² - y² - z²) dydz] = 2∫∫D √(a² - y² - z²) dydz = 2∫∫Σ1 xdydz
∫∫Σ (xdydz + ydzdx + zdxdy)/(x² + y² + z²)^(3/2)
= (1/a³)∫∫Σ xdydz + ydzdx + zdxdy
= (1/a³)∫∫Σ x(- ∂z/∂x)dxdy + y(- ∂z/∂y)dxdy + zdxdy
= (1/a³)∫∫D a²/√(a² - x² - y²) dxdy
= (1/a)∫(0,2π) ∫(0,a) r/√(a² - r²) drdθ
= 2π
第二题要注意些地方,用高斯公式是最方便的
由于这个不是封闭曲面,所以要在下面加上一个平面,但是也要绕过不连续的奇点部分
所以,这个平面是一个圆环,从yz面或zx面正看这立体的平面图,是一道彩虹的样子
里面的曲面是小球体x² + y² + z² = λ²,外面的曲面是椭球体x²/4 + y²/9 + z²/25 = 1
P,Q,R的偏导数都相等 ==> 结果与曲面无关(跟格林公式的积分与路径无关的原理相似)
选最简单的曲面Σ1:x² + y² + z² = λ²,取下侧
还要补上圆环Σ2:z = 0,取下侧
∫∫Σ1 (xdydz + ydzdx + zdxdy)/(x² + y² + z²)^(3/2)
= (- 1/λ³)∫∫Σ1 x(- ∂z/∂x)dxdy + y(- ∂z/∂y)dxdy + zdxdy
= (- 1/λ³)∫∫D λ²/√(λ² - x² - y²) dxdy
= (- 1/λ)∫(0,2π) ∫(0,λ) r/√(λ² - r²) drdθ
= - 2π
而∫∫Σ2 (xdydz + ydzdx + zdxdy)/(x² + y² + z²)^(3/2)
= ∫∫Σ2 0dxdy/(x² + y²)^(3/2) = 0
原积分I = 0 - (- 2π) - 0 = 2π
第二题你的思想没错,结果与曲面无关,可以任选包含奇点的曲面
(外曲面取上侧,内曲面取下侧;反之亦然),总之原积分不可以包含该奇点,要把其排除在外
再问: 谢谢 再问一下第一问 上半球不是关于 xOz 和yOz对称吗 又分别是y和x的奇函数? ∫∫Σ xdydz + ydzdx 为啥不等于0? 给加分 谢谢!
再答: 第一类曲面积分符合 偶倍奇零 性质 第二类曲面积分符合 偶零奇倍 性质 刚好调转的。 ∫∫Σ xdydz,分别前侧和后侧 前侧的曲面为Σ1:x = √(a² - y² - z²) 后侧的曲面为Σ2:x = - √(a² - y² - z²) ∫∫Σ xdydz = ∫∫Σ1 xdydz + ∫∫Σ2 xdydz = [+ ∫∫D √(a² - y² - z²) dydz] + [- ∫∫D - √(a² - y² - z²) dydz] = 2∫∫D √(a² - y² - z²) dydz = 2∫∫Σ1 xdydz
用高斯公式计算曲面积分∫∫(zdxdy+xdydz+ydzdx)/(x^2+y^2+z^2)
利用高斯公式计算曲面积分∑xdydz+ydzdx+zdxdy,其中∑为球面(x-a)^2+(y-b) ^2+(z-c)
曲面为锥面z=根号(x^2+y^2)与z=1所围立体的表面外侧,则∫∫xdydz+ydzdx+zdxdy=
利用高斯公式计算曲面积分I=∫∫(∑)xdydz+ydzdx+zdxdy ,其中∑为半球面z=√(R^2-x^2-y^2
高数 第二型曲面积分被积函数为xdydz+ydzdx+zdxdy积分曲面为螺旋面 x=u*cosv,y=y*sinv,z
计算第二型曲面积分∫∫xdydz+ydzdx+zdxdy,其中S是曲面|x|+|y|+|z|=1的外侧.
计算第二型曲面积分∫∫(x^3+e^ysinz)dydz-3x^2ydzdx+zdxdy,其中S是下半球面z=-根号里1
高斯公式求曲面积分...求∫∫(xdydz+z^2dxdy)/(x^2+y^2+z^2),
曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2及z=R,z=-
第二型曲面积分 计算曲面积分∫∫xdxdy+ydxdz+zdxdy,∑是z=(x^2+y^2)^1/2在z=0和z=h之
利用高斯公式计算 2xdydz+ydzdx-2012x^3dxdy,其中Σ为Ω:x^2+y^2+z^2≤1,z≥0的整个
利用高斯公式计算曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2