作业帮用几何法,不能用空间向量
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/23 23:23:15
用几何法,不能用空间向量
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中点,AB1⊥BC1,则平面DBC1与平面BBC1所成角为多少度?
是面BDC1和面BCC1的二面角，抱歉哈，不过谢谢咯。
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中点,AB1⊥BC1,则平面DBC1与平面BBC1所成角为多少度?
是面BDC1和面BCC1的二面角，抱歉哈，不过谢谢咯。
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中点,AB1⊥BC1,则平面DBC1与平面BB1C1所成角为多少度?
解析：∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB1⊥BC1
设底面边长为a,侧棱长为h
取BB1,B1C1,AB中点E,F,G,连接EF,EG,FG
∴EF//BC1,EG//AB1==>EF⊥EG,EF=EG=√(a^2+h^2)/2
∴FG=√2√(a^2+h^2)/2
取A1B1中点H,连接GH,FH
∴GH⊥FH==>FG=√((a/2)^2+h^2)
∴√2√(a^2+h^2)/2=√((a/2)^2+h^2)==> (a^2+h^2)/2=(a^2+4h^2)/4==>a=√2h
在⊿BB1C1中
过B1作B1M⊥BC1交BC1于M
∴BC1=√3h
由B1C1^2=C1M*C1B,可求得C1M=2√3/3h
∵D是AC的中点
在⊿BDC1中
∴C1D=√6/2h,BD=√3/2a=√6/2h,BC1=√3h
∴sin∠C1BD=(√3/2h)/(√6/2h)=√2/2==>∠C1BD=π/4
过M作MN⊥BC1交BD于N
∴MN=MB=√3/3h
B1M^2=BB1^2-BM^2=h^2-1/3h^2=2/3h^2
BN=√6/3h==>B1N^2=BB1^2+BN^2=5/3h^2
在⊿B1MN中,∠B1MN为平面DBC1与平面BB1C1所成角平面角
cos∠B1MN=(B1M^2+MN^2-B1N^2)/(B1M*MN)
=(2/3h^2+1/3h^2-5/3h^2)/(2* √6/3*√3/3h^2)=-√2/2
∴平面DBC1与平面BB1C1所成角平面角为135°
解析：∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB1⊥BC1
设底面边长为a,侧棱长为h
取BB1,B1C1,AB中点E,F,G,连接EF,EG,FG
∴EF//BC1,EG//AB1==>EF⊥EG,EF=EG=√(a^2+h^2)/2
∴FG=√2√(a^2+h^2)/2
取A1B1中点H,连接GH,FH
∴GH⊥FH==>FG=√((a/2)^2+h^2)
∴√2√(a^2+h^2)/2=√((a/2)^2+h^2)==> (a^2+h^2)/2=(a^2+4h^2)/4==>a=√2h
在⊿BB1C1中
过B1作B1M⊥BC1交BC1于M
∴BC1=√3h
由B1C1^2=C1M*C1B,可求得C1M=2√3/3h
∵D是AC的中点
在⊿BDC1中
∴C1D=√6/2h,BD=√3/2a=√6/2h,BC1=√3h
∴sin∠C1BD=(√3/2h)/(√6/2h)=√2/2==>∠C1BD=π/4
过M作MN⊥BC1交BD于N
∴MN=MB=√3/3h
B1M^2=BB1^2-BM^2=h^2-1/3h^2=2/3h^2
BN=√6/3h==>B1N^2=BB1^2+BN^2=5/3h^2
在⊿B1MN中,∠B1MN为平面DBC1与平面BB1C1所成角平面角
cos∠B1MN=(B1M^2+MN^2-B1N^2)/(B1M*MN)
=(2/3h^2+1/3h^2-5/3h^2)/(2* √6/3*√3/3h^2)=-√2/2
∴平面DBC1与平面BB1C1所成角平面角为135°