关于n阶导数问题1.设f（x）=xlnx,证明f（n）（x）=(-1)^n(n-2)!/x^(n-1)2.已知y=（x^

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/06 03:55:31

关于n阶导数问题
1.设f（x）=xlnx,证明f（n）（x）=(-1)^n(n-2)!/x^(n-1)
2.已知y=（x^2-1)^n,在利用（x^2-1)dy/dx-2nxy=0的情况下,证明：（x^2-1)y(n+2)+2xy(n+1)-n(n+1)y(n)=0.
过程不太会算,用了哪些公式也麻烦说说,有的话.
(两题中的（n）是指n阶导数).

关于乘积的n阶导数,一般可以考虑莱布尼兹高阶导数公式：
1.(xlnx)的n阶导数
=x(lnx)^(n)+n(lnx)^(n-1)
=x(-1)^(n-1)*(n-1)!/x^n+(-1)^(n-2)*n(n-2)!/x^(n-1)
=(-1)^n*(n-2)!/x^(n-1)
2.(x^2-1)y'-2nxy=0,再求n+1阶导数：
0=[(x^2-1)y']^(n+1)-2n(xy)^(n+1)
=(x^2-1)y^(n+2)+(n+1)(2x)y^(n+1)+n(n+1)y^(n)-2n[xy^(n+1)+(n+1)y^(n)]
=(x^2-1)y^(n+2)+2xy^(n+1)-n(n+1)y^(n)
再问：第二题第3步开始不太明白，(x^2-1)y^(n+2)是y'的次数加上（n+1）吗？此外，后面（n+1)(2x)y^(n+1)+n(n+1)y^(n) 和xy^(n+1)+(n+1)y^(n)这两个又是怎么来的，你所说的求n+1阶导数指的是对y求，还是对整个方程求呢？
再答：用的莱布尼兹公式，对(x^2-1)y'-2nxy=0求n+1阶导数 (uv)^(n+1)=uv^(n+1)+(n+1)u'v^(n)+(1/2)n(n+1)u''v^(n-1)+........ u=x^2-1,v=y' 代入：(注意：u'''=0) 可以求出(x^2-1)y'的n+1阶导数=(x^2-1)y^(n+2)+(n+1)(2x)y^(n+1)+n(n+1)y^(n) u=x，v=y，代入：(注意：u''=0) 可以求出xy的的n+1阶导数=[xy^(n+1)+(n+1)y^(n)]

设f(x)=sin2xcos3x,求f(x)的n阶导数（n=1,2,……）设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n) f(x)的n+1阶导数设f(x)=2x/(1-x^2),求f(x)的n阶导数已知y=(arcsinx）^2, 试证（1-X^2）*y的(n+1)阶导数-(2n-1)*x*y的(n)阶导数-(n-1 设f(x)=(x^2)ln(1+x),求f(0)的n阶导数.n大于等于3. 求函数f(x)=x^2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)（n>=3）设f(x)=2^x/(2^x+根号2),求f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+.+f(n/n)(n为自然数) 3道高等数学题f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)…(x-n) 求f(x)的n+1阶导数.应用lagrange证明设X~F(n,n),则P｛X>1｝= 设f(x)=g(x)(x-a)^n,g(x)在x=a处有n-1阶连续导数,求在x=a处的n阶f（x）如何证明幂函数导数公式【即如何证明当f(x)=x^n时,f'(x)=n*x^(n-1)】?注意：n为全体实数! 数学题（代数）f(n-1)=(x-a)f(n-2)+a(x+a)^(n-2),f(n-2)=(x-a)f(n-3)+a(